Kí hiệu S là tập tất cả các số nguyên m sao cho phương trình \({3^{{x^2} + mx + 1}} = \left( {3 + mx}

Câu hỏi số 615582:

Vận dụng cao

Kí hiệu S là tập tất cả các số nguyên m sao cho phương trình \({3^{{x^2} + mx + 1}} = \left( {3 + mx} \right){3^{9x}}\) có nghiệm thuộc khoảng (1;9). Số phần tử của S là:

A. 11.

B. 3.

C. 9.

D. 12.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:615582

Giải chi tiết

Ta có: \({3^{{x^2} + mx + 1}} = \left( {3 + mx} \right){3^{9x}} \Leftrightarrow {3^{{x^2} + mx - 9x + 1}} - \left( {3 + mx} \right) = 0\,\,\left( 1 \right)\)

Để phương trình có nghiệm \( \Rightarrow 3 + mx > 0\) (do \({3^{{x^2} + mx - 9x + 1}} > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)).

Khi đó \(3 + mx > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{{ - 3}}{x} \Leftrightarrow m > - 3\,\,\left( {do\,\,1 < x < 9} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {3^{{x^2} + mx - 9x + 1}} - \left( {3 + mx} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \ln 3.\left( {2x + m - 9} \right){.3^{{x^2} + mx + 1 - 9x}} - m\\f''\left( x \right) = \ln {3.2.3^{{x^2} + mx + 1 - 9x}} + {\left( {\ln 3.\left( {2x + m - 9} \right)} \right)^2}{.3^{{x^2} + mx + 1 - 9x}} > 0\end{array}\)

Suy ra f’(x) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

=> Phương trình f’(x) = 0 có nhiều nhất 1 nghiệm.

=> Phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm.

Ta có: x = 0 là một nghiệm của phương trình (1) nên để phương trình này có nghiệm \(x \in \left( {1;9} \right)\) thì (1) phải có đúng một nghiệm \(x \in \left( {1;9} \right)\).

\( \Rightarrow f\left( 1 \right).f\left( 9 \right) < 0 \Leftrightarrow \left( {{3^{m - 7}} - 3 - m} \right)\left( {{3^{1 + m}} - 3 - 9m} \right) < 0\).

\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;9} \right\}\).

Vậy có 11 giá trị m thoả mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.