Xét tất cả các cặp số nguyên dương (a;b), ở đó \(a \ge b\) sao cho ứng với mỗi cặp số như

Câu hỏi số 615583:

Vận dụng cao

Xét tất cả các cặp số nguyên dương (a;b), ở đó \(a \ge b\) sao cho ứng với mỗi cặp số như vậy có đúng 50 số nguyên dương x thoả mãn \(\left| {\ln a - \ln x} \right| < \ln b\). Hỏi tổng a + b nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

A. 22.

B. 36.

C. 11.

D. 50.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:615583

Giải chi tiết

Khi b = 1 => Bất phương trình vô nghiệm \( \Rightarrow b \ge 2.\)

Ta có: \(\left| {\ln a - \ln x} \right| < \ln b \Leftrightarrow - \ln b < \ln a - \ln x < \ln b\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \ln a - \ln b < \ln x < \ln a + \ln b\\ \Leftrightarrow \ln \dfrac{a}{b} < \ln x < \ln ab\\ \Leftrightarrow \dfrac{a}{b} < x < ab\end{array}\)

Vì nghiệm nguyên dương lớn nhất của bất phương trình là \(x = ab - 1\) nên yêu cầu bài toán trở thành nghiệm nguyên dương bé nhất của bất phương trình \(x = ab - 50\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{b} < ab - 50\\\dfrac{a}{b} \ge ab - 5a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < a{b^2} - 50b\\a \ge a{b^2} - 5ab\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}50b < a\left( {{b^2} - 1} \right)\\51b \ge a\left( {{b^2} - 1} \right)\end{array} \right.\)

Vì \(a \ge 1 \Rightarrow 51b \ge {b^2} - 1 \Leftrightarrow 2 \le b \le 50\,\,\left( 1 \right)\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > \dfrac{{50}}{{{b^2} - 1}}\\a \le \dfrac{{51}}{{{b^2} - 1}}\end{array} \right.\)

Mà \(a \ge b \Rightarrow \dfrac{{51b}}{{{b^2} - 1}} \ge b \Leftrightarrow b \le 7.\)

Kết hợp (1) \( \Rightarrow 2 \le b \le 7\).

Thử ta tìm được b = 3, a = 19. Vậy a + b = 22 là nhỏ nhất.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.