Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn
\({\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + x} \right) + {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le {\log _3}x + {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2} + 24x} \right)?\)
Câu 616154: Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn
\({\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + x} \right) + {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le {\log _3}x + {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2} + 24x} \right)?\)
A. 89.
B. 48.
C. 90.
D. 49.
Quảng cáo
Đưa bất phương trình về dạng hàm số \({\log _3}\left( {1 + \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{x}} \right) - {\log _2}\left( {1 + \dfrac{{24x}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right) \le 0\)
Suy ra \(f\left( t \right) = {\log _3}\left( {1 + t} \right) - {\log _2}\left( {1 + \dfrac{{24}}{t}} \right)\) luôn đồng biến từ đó xác định khaongr giá trị t.
-
Đáp án : D(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \(t = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{x}\). Vì \(x > 0\) và \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \ge 1 \Rightarrow t \ge 1\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( t \right) = {\log _3}\left( {1 + t} \right) - {\log _2}\left( {1 + \dfrac{{24}}{t}} \right)\\ \Rightarrow f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{\ln 3.\ln \left( {1 + t} \right)}} - \dfrac{{\dfrac{{ - 24}}{{{t^2}}}}}{{\ln 2.\ln \left( {1 + \dfrac{{24}}{t}} \right)}} = \dfrac{1}{{\ln 3.\ln \left( {1 + t} \right)}} + \dfrac{{24}}{{{t^2}.\ln 2.\ln \left( {1 + \dfrac{{24}}{t}} \right)}} > 0\,\,\,\forall t > 0\end{array}\)
Ta có BBT
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 0 < t \le 8\\ \Rightarrow \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{x} \le 8\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \le 8x\\ \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 + {y^2} \le 16\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} \le 16\end{array}\)
Suy ra có tất cả 49 cặp \(\left( {x,y} \right)\) nguyên thỏa mãn.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
