Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;0;10) và B(3;4;6). Xét các điểm M thay đổi sao cho tam giác OAM

Câu hỏi số 616156:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;0;10) và B(3;4;6). Xét các điểm M thay đổi sao cho tam giác OAM không có góc tù và có diện tích bằng 15. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MB thuộc khoảng nào dưới đây?

A. (4;5).

B. (3;4).

C. (2;3).

D. (6;7).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:616156

Giải chi tiết

Giải Câu 49 (VDC) - 0

Cách giải:

Gọi M(x;y;z).

+ \(\Delta OAM\) không tù góc O và A \( \Leftrightarrow 0 \le z \le 10\,\,\,\left( 1 \right)\).

+ \(\Delta OAM\) không tù góc M \( \Rightarrow MI \ge \dfrac{{OA}}{2}\).

\( \Rightarrow M{I^2} \ge \dfrac{{O{A^2}}}{4} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} \ge 25\,\,\,\left( 2 \right)\)

+ \({S_{\Delta OAM}} = \dfrac{1}{2}\sqrt {{x^2} + {y^2}} .OA = 15 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sqrt {{x^2} + {y^2}} .10 = 15 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 9\,\,\,\left( 3 \right)\)

Thay (3) vào (2) \( \Rightarrow {\left( {z - 5} \right)^2} \ge 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z - 5 \ge 4\\z - 5 \le - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z \ge 9\\z \le 1\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\)

Vậy M(x;y;z) phải thoả mãn \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}0 \le z \le 1\\9 \le z \le 10\end{array} \right.\\{x^2} + {y^2} = 9\,\,\left( {{C_1}} \right)\end{array} \right.\).

Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm K(0;0), bán kính \({R_1} = 3.\)

+ Xét \(T = M{B^2} = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2}\)

Do z thoả mãn (*) => \({\left( {z - 6} \right)^2}\min \Rightarrow z = 9 \Rightarrow T = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + 9\).

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = T - 9\,\,\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \(H\left( {3;4} \right),\) bán kính \({R_2} = \sqrt {T - 9} \).

+ Để tồn tại điểm M \( \Leftrightarrow \left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) phải có điểm chung

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {{R_1} - {R_2}} \right| \le KH \le {R_1} + {R_2}\\ \Leftrightarrow \left| {3 - \sqrt {T - 9} } \right| \le 5 \le 3 + \sqrt {T - 9} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {T - 9} \ge 2\\ - 5 \le 3 - \sqrt {T - 9} \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}T - 9 \ge 4\\ - 2 \le \sqrt {T - 9} \le 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}T \ge 13\\0 \le \sqrt {T - 9} \le 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}T \ge 13\\9 \le T \le 73\end{array} \right. \Leftrightarrow 13 \le T \le 73\end{array}\)

Vậy \({T_{\min }} = 13 \Rightarrow M{B_{\min }} = \sqrt {13} \).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.