1) Giải phương trình \(\left( {\sqrt {x + 5} - \sqrt {x - 2} } \right)\left( {1 + \sqrt {{x^2} + 3x - 10} }

Câu hỏi số 617141:

Vận dụng cao

1) Giải phương trình \(\left( {\sqrt {x + 5} - \sqrt {x - 2} } \right)\left( {1 + \sqrt {{x^2} + 3x - 10} } \right) = 7\).

2) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y + z = 6}\\{xy + yz + zx = 11}\\{xyz = 6}\end{array}} \right.\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:617141

Phương pháp giải

1) Phân tích \(\sqrt {{x^2} + 3x - 10} = \sqrt {x + 5} \sqrt {x + 3} \). Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \sqrt {x + 5} }\\{b = \sqrt {x - 2} }\end{array}{\rm{\;}}(a > b \ge 0)} \right.\)

Thay a, b vào phương trình ban đầu tìm a, b

2) Từ phương trình 1, 3 rút \(x + y\) và \(xy\) theo \(z\). Lập phương trình một ẩn z và tìm z.

Giải chi tiết

1) Xét phương trình \(\left( {\sqrt {x + 5} - \sqrt {x - 2} } \right)\left( {1 + \sqrt {{x^2} + 3x - 10} } \right) = 7{\rm{\;}}\) (1).

Điều kiện \(x \ge 2\).

Phương trình (1) có thể viết lại thành

\(\left( {\sqrt {x + 5} - \sqrt {x - 2} } \right)\left( {1 + \sqrt {x + 5} \cdot \sqrt {x - 2} } \right) = 7\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \sqrt {x + 5} }\\{b = \sqrt {x - 2} }\end{array}{\rm{\;}}(a > b \ge 0)} \right.\) thì \({a^2} - {b^2} = 7\) và phương trình trên trở thành

\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{\;\left( {a - b} \right)\left( {1 + ab} \right) = {a^2} - {b^2}}\\ \Leftrightarrow &{\;\left( {a - b} \right)\left( {1 + ab - a - b} \right) = 0}\\ \Leftrightarrow &{\;\left( {a - b} \right)\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right) = 0}\\ \Leftrightarrow &{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - a = 0}\\{1 - b = 0}\end{array}{\rm{\;}}({\rm{\;v\`i \;}}a > b)} \right.}\end{array}\)

Với \(1 - a = 0 \Leftrightarrow a = 1\), ta có \(\sqrt {x + 5} = 1 \Leftrightarrow x = - 4\) (không thỏa mãn đk).
Với \(1 - b = 0 \Leftrightarrow b = 1\), ta có \(\sqrt {x - 2} = 1 \Leftrightarrow x = 3\) (thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(x = 3\).

2) Xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y + z = 6}&{{\rm{\;(i)\;}}}\\{xy + yz + zx = 11}&{{\rm{\;(ii)\;}}{\rm{.\;}}}\\{xyz = 6}&{{\rm{\;(iii)\;}}}\end{array}} \right.\)

Từ ( \(i\) ) suy ra \(x + y = 6 - z\) và từ (iii) suy ra \(xy = \dfrac{6}{z}\). Thay vào (ii) ta được

\(\begin{array}{l}\dfrac{6}{z} + z\left( {6 - z} \right) = 11\\ \Leftrightarrow {z^3} - 6{z^2} + 11z - 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {z - 1} \right)\left( {z - 2} \right)\left( {z - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = 1}\\{z = 2}\\{z = 3}\end{array}} \right.\end{array}\)

+) Với \(z = 1\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 5}\\{xy = 6}\end{array}} \right.\), suy ra \(x,y\) là hai nghiệm của phương trình

\({t^2} - 5t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 2}\\{t = 3}\end{array}} \right.\)

Như vậy \(\left( {x,y} \right) = \left( {2,3} \right)\) hoặc \(\left( {x,y} \right) = \left( {3,2} \right)\).

Khi đó hệ có nghiệm \(\left( {x,y,z} \right) = \left( {2,3,1} \right),\left( {x,y,z} \right) = \left( {3,2,1} \right)\)

+)Với \(z = 2\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 4}\\{xy = 3}\end{array}} \right.\), suy ra \(x,y\) là hai nghiệm của phương trình

\({t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t = 3}\end{array}} \right.\)

Khi đó hệ có nghiệm \(\left( {x,y,z} \right) = \left( {1,3,2} \right),\left( {x,y,z} \right) = \left( {3,1,2} \right)\)

+) Với \(z = 3\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 3}\\{xy = 2}\end{array}} \right.\), suy ra \(x,y\) là hai nghiệm của phương trình

\({t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t = 2}\end{array}} \right.\)

Khi đó hệ có nghiệm \(\left( {x,y,z} \right) = \left( {1,2,3} \right),\left( {x,y,z} \right) = \left( {2,1,3} \right)\)

Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm \(\left( {x,y,z} \right)\) là tất cả các hoán vị của \(\left( {1,2,3} \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link