1) Tìm tất cả các nghiệm \(\left( {x;y;z} \right)\) của phương trình \(x\left( {{x^2} + x + 1} \right) =

Câu hỏi số 617142:

Vận dụng cao

1) Tìm tất cả các nghiệm \(\left( {x;y;z} \right)\) của phương trình \(x\left( {{x^2} + x + 1} \right) = {z^y} - 1\) thỏa mãn \(x,y\) là các số nguyên và \(z\) là số nguyên tố.

2) Tìm các số thực \(x\) sao cho \(x + \sqrt {2022} \) và \(\dfrac{3}{x} - \sqrt {2022} \) đều là số nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:617142

Phương pháp giải

1) Đưa phương trình về dạng \(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = {z^y}\). Chứng minh \({x^2} + 1 \vdots x + 1\) từ đó tìm x thỏa mãn

2) Giả sử \(x + \sqrt {2022} = a\left( {a \in \mathbb{Z}} \right)\). Tính \(\dfrac{3}{x} - \sqrt {2022} \) theo a

Giải chi tiết

1) Ta có \(x\left( {{x^2} + x + 1} \right) = {z^y} - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} + x + 1 = {z^y}\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = {z^y}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Do \(x,y,z\) đều nguyên, z nguyên tố nên từ \(\left( {\rm{*}} \right)\) suy ra \(x,y \ge 0\). Đồng thời vì \(z\) là số nguyên tố nên

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 1 = {z^a}}\\{x + 1 = {z^b}}\end{array}{\rm{\;}}\left( {a,b \in \mathbb{Z};a \ge b \ge 0} \right)} \right.\)

Khi đó ta có \({x^2} + 1 \vdots x + 1\) hay \(\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + 2 \vdots x + 1\), dẫn tới

\(2 \vdots x + 1 \Rightarrow x \in \left\{ {0;1} \right\}{\rm{\;}}\left( {{\rm{\;do\;}}x \ge 0} \right)\)

Với \(x = 0\), thay vào \(\left( {\rm{*}} \right)\) ta có \({z^y} = 1 \Rightarrow y = 0\) và \(z\) là số nguyên tố bất kì.

Với \(x = 1\), thay vào \(\left( {\rm{*}} \right)\) ta có \({z^y} = 4 \Rightarrow y = z = 2\).

Vậy \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {1;2;2} \right)\) hoặc \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {0;0;k} \right)\) với \(k\) là số nguyên tố bất kì.

2) Giả sử \(x + \sqrt {2022} = a\left( {a \in \mathbb{Z}} \right)\). Khi đó \(x = a - \sqrt {2022} \)

Ta có

\(\begin{array}{l}\dfrac{3}{x} - \sqrt {2022} = \dfrac{3}{{a - \sqrt {2022} }} - \sqrt {2022} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{3\left( {a + \sqrt {2022} } \right)}}{{{a^2} - 2022}} - \sqrt {2022} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\dfrac{{3a}}{{{a^2} - 2022}} + \dfrac{{3\sqrt {2022} }}{{{a^2} - 2022}} - \sqrt {2022} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{3a}}{{{a^2} - 2022}} + \left( {\dfrac{3}{{{a^2} - 2022}} - 1} \right) \cdot \sqrt {2022} \end{array}\)

Vi \(\dfrac{3}{x} - \sqrt {2022} \in \mathbb{Z}\) và \(a \in \mathbb{Z}\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{3a}}{{{a^2} - 2022}} \in \mathbb{Z}}\\{\dfrac{3}{{{a^2} - 2022}} - 1 = 0}\end{array}{\rm{\;}} \Leftrightarrow a = \pm 45} \right.\)

Từ đó ta có \(x = 45 - \sqrt {2022} \) hoặc \(x = - 45 - \sqrt {2022} \).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link