1) Cho đường tròn \(\left( O \right)\) có đường kính \(AB\). Lấy điểm \(C\) thuộc đoạn \(AO(C\)

Câu hỏi số 617143:

Vận dụng cao

1) Cho đường tròn \(\left( O \right)\) có đường kính \(AB\). Lấy điểm \(C\) thuộc đoạn \(AO(C\) khác \(A,O)\). Vẽ đường tròn \(\left( I \right)\) đường kính \(BC\). Vẽ tiếp tuyến \(AD\) và cát tuyến \(AEF\) với đường tròn \(\left( I \right)(E\) nằm giữa \(A\) và \(F\) ) sao cho tia \(AO\) nằm giữa hai tia \(AD\) và \(AE\). Đường thẳng vuông góc với \(AB\) vẽ từ \(C\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại hai điểm, gọi một trong hai giao điểm đó là \(N\) sao cho \(N\) và \(D\) thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ \(AB\). Gọi \(S\) là giao điểm của hai đường thẳng \(DI\) và \(NB\). Gọi \(R\) là giao điểm của hai đường thẳng \(DN\) và \(AS\). Gọi \(J\) là trung điểm của \(SD\).

a) Chứng minh \(\Delta AND\) là tam giác cân.

b) Gọi \(L,T\) lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta SBC\) và \(\Delta SEF\). Chứng minh rằng ba điểm \(J,L,T\) thẳng hàng.

2) Cho hình vuông \(ABCD\) có diện tích \(S\). Tứ giác \(MNPQ\) có bốn đỉnh \(M,N,P,Q\) lần lượt thuộc các cạnh \(AB,BC,CD,DA\) của hình vuông đã cho và không trùng với đỉnh của hình vuông. Chứng minh rằng \(S \le AC \cdot \dfrac{{MN + NP + PQ + QM}}{4}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:617143

Phương pháp giải

1) a) Chứng minh \(A{D^2} = A{N^2} = AB.AC\)

b) Chứng minh \(A{D^2} = AR.AS = AC.AB = AE.AF\)

Suy ra các tứ giác \(BCRS\) và \(EFSR\) nội tiếp.

2) Gọi độ dài cạnh hình vuông \(ABCD\) là \(x\). Khi đó \(MN + NP + PQ + QM \ge 2\sqrt 2 x\)

Áp dụng pytago và cauchy chứng minh đẳng thức bài cho.

Giải chi tiết

a) Dễ thấy \(\Delta ADC \sim \Delta ABD\left( {g \cdot g} \right)\) nên \(\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AC}}{{AD}} \Rightarrow A{D^2} = AB \cdot AC\)

Xét \(\Delta ANB\) vuông tại \(N\) có \(NC\) là đường cao nên \(A{N^2} = AB \cdot AC\)

Từ (1) và (2) suy ra \(A{D^2} = A{N^2}\) hay \(AD = AN\), do đó \(\Delta AND\) cân tại \(A\).

b) Ta có \(\angle {ADS} = \angle {ANS} = {90^ \circ }\) và \(\angle {ADN} = \angle {AND}\) nên \(\angle {ADS} - \angle {ADN} = \angle {ANS} - \angle {AND}\)

\({\rm{\;}} \Rightarrow \angle {SDN} = \angle {SND}\)

Suy ra \(\Delta SDN\) cân tại \(S\) hay \(SD = SN\).

Kết hợp với \(AD = AN\) (cmt) suy ra \(AS\) là đường trung trực của \(DN\).

Xét \(\Delta ADS\) vuông tại \(D\) có \(DR\) là đường cao nên \(A{D^2} = AR \cdot AS\) (1)

Mặt khác, \(\Delta ACD \sim \Delta ADB\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow A{D^2} = AC.AB\)

Mà \(\Delta ADE \sim AED\left( {g.g} \right) \Rightarrow A{D^2} = AE.AF\)

Nên \( \Rightarrow A{D^2} = AC.AB = AE.AF\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AR.AS = AC.AB = AE.AF\)

Suy ra các tứ giác \(BCRS\) và \(EFSR\) nội tiếp.

Điều này chứng tỏ các đường tròn tâm \(L\) ngoại tiếp \(\Delta SBC\) và tâm \(T\) ngoại tiếp \(\Delta SEF\) cắt nhau tại hai điểm \(R\) và \(S\).

Do vậy, \(IJ\) là đường trung trực của \(RS\).

Mặt khác, \(\Delta DRS\) vuông tại \(R\) có \(RJ\) là đường trung tuyến nên \(JR = JS \Rightarrow J\) thuộc đường trung trực của \(RS\).

Kết hợp với kết quả trên suy ra ba điểm \(L,T,J\) thẳng hàng.

Gọi độ dài cạnh hình vuông \(ABCD\) là \(x\). Khi đó \(AC = x\sqrt 2 \) và \(S = {x^2}\). Do đó, điều phải chứng minh tương đương với

\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{{x^2} \le x\sqrt 2 \cdot \dfrac{{MN + NP + PQ + QM}}{4}}\\{}&{{\rm{\;hay\;}}MN + NP + PQ + QM \ge 2\sqrt 2 x{\rm{\;}}\left( {\rm{*}} \right)}\end{array}\)

Theo Pytago, ta có

\(M{N^2} = B{M^2} + B{N^2} \ge \dfrac{{{{(BM + BN)}^2}}}{2} \Rightarrow MN \ge \sqrt 2 \left( {BM + BN} \right)\)

Tương tự, ta chứng minh được

\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{NP \ge \sqrt 2 \left( {CN + CP} \right)}\\{}&{PQ \ge \sqrt 2 \left( {DP + DQ} \right)}\\{}&{QM \ge \sqrt 2 \left( {AQ + AM} \right)}\end{array}\)

Từ đó suy ra

\(MN + NP + PQ + QM \ge \sqrt 2 \left( {BM + BN + CN + CP + DP + DQ + AQ + AM} \right) = 2\sqrt 2 x\)

Như vậy, (*) đúng và ta có điều phải chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link