1) Cho \(x,y,z\) là các số thực không âm thỏa mãn \({x^3} + {y^3} + {z^3} = 3\). Tìm giá trị nhỏ

Câu hỏi số 617144:

Vận dụng cao

1) Cho \(x,y,z\) là các số thực không âm thỏa mãn \({x^3} + {y^3} + {z^3} = 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{{x^3}}}{{3y + 1}} + \dfrac{{{y^3}}}{{3z + 1}} + \dfrac{{{z^3}}}{{3x + 1}}\)

2) Có 10 bạn học sinh tham gia thi đấu bóng bàn. Hai bạn bất kì đều phải đấu với nhau một trận, bạn nào cũng phải gặp đủ 9 đấu thủ của mình và không có trận đấu hòa. Chứng minh rằng có thể sắp xếp 10 bạn này thành một hàng dọc sao cho bạn đứng trước thắng bạn đứng kề sau.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:617144

Giải chi tiết

1) Theo AM-GM, ta có

\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{{x^3} + 1 + 1 \ge 3\sqrt[3]{{{x^3} \cdot 1 \cdot 1}} = 3x \Rightarrow 3x + 1 \le {x^3} + 3}\\{}&{{y^3} + 1 + 1 \ge 3\sqrt[3]{{{y^3} \cdot 1 \cdot 1}} = 3y \Rightarrow 3y + 1 \le {y^3} + 3}\\{}&{{z^3} + 1 + 1 \ge 3\sqrt[3]{{{z^3} \cdot 1 \cdot 1}} = 3z \Rightarrow 3z + 1 \le {z^3} + 3}\end{array}\)

Do đó \(P \ge \dfrac{{{x^3}}}{{{y^3} + 3}} + \dfrac{{{y^3}}}{{{z^3} + 3}} + \dfrac{{{z^3}}}{{{x^3} + 3}}\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = {x^3}}\\{b = {y^3}}\\{c = {z^3}}\end{array}{\rm{\;}}} \right.\) thì \(a,b,c \ge 0\) và \(a + b + c = 3\), đồng thời

\(\begin{array}{l}P \ge \dfrac{a}{{b + 3}} + \dfrac{b}{{c + 3}} + \dfrac{c}{{a + 3}}\\ \ge \dfrac{{{a^2}}}{{ab + 3a}} + \dfrac{{{b^2}}}{{bc + 3b}} + \dfrac{{{c^2}}}{{ca + 3c}}\\ \ge \dfrac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{ab + bc + ca + 3\left( {a + b + c} \right)}}{\rm{\;}}\left( {{\rm{\;Cauchy\;}} - {\rm{\;Schwarz\;}}} \right)\\ = \dfrac{9}{{ab + bc + ca + 9}}\end{array}\)

Mặt khác, ta có \(ab + bc + ca \le \dfrac{{{{(a + b + c)}^2}}}{3} = 3\) nên \(P \ge \dfrac{9}{{3 + 9}} = \dfrac{3}{4}\)

Đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c = 1\) hay \(x = y = z = 1\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\dfrac{3}{4}\), đạt được tại \(x = y = z = 1\).

2) Vì không có trận đấu hòa nên ta luôn xếp được 10 bạn thành một hàng dọc sao cho tồn tại \(k\) bạn liên tiếp mà bạn đứng trước thắng bạn kề sau. Rõ ràng \(k \ge 2\) và do số cách xếp là hữu hạn nên tồn tại giá trị lớn nhất của \(k\), giả sử là \({k_0}\) và ta gọi \(\left( {{k_0}} \right)\) là dãy gồm \({k_0}\) bạn trong hàng thỏa mã̃n yêu cầu bài toán. Ta sẽ chứng minh \({k_0} = 10\). Giả sử ngược lại, \({k_0} < 10\). Khi đó, tồn tại bạn \(A\) không thuộc dãy \(\left( {{k_0}} \right)\). Có các khả năng sau xảy ra

+)\(A\) thắng bạn đứng đầu của dãy \(\left( {{k_0}} \right)\) thì có thể xếp \(A\) lên đầu dãy \(\left( {{k_0}} \right)\) và ta có dãy gồm \({k_0} + 1\) bạn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Điều này mâu thuẫn với giả thiết về \({k_0}\).

+)\(A\) thua bạn đứng cuối của dãy \(\left( {{k_0}} \right)\) thì có thể xếp \(A\) vào cuối dãy \(\left( {{k_0}} \right)\) và ta có dãy gồm \({k_0} + 1\) bạn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Điều này mâu thuẫn với giả thiết về \({k_0}\).

+)\(A\) thắng một số bạn, đồng thời cũng thua một số bạn trong dãy \(\left( {{k_0}} \right)\). Khi đó, tồn tại hai bạn \(B,C\) của dãy \(\left( {{k_0}} \right)\) mà \(B\) đứng trên \(C\) và trong hai bạn \(B\) và \(C\) có một bạn thắng và một bạn thua \(A\).

+)Nếu \(A\) thua \(B\) và \(A\) thắng \(C\) thì xếp \(A\) vào giữa \(B\) và \(C\) ta thu được dãy gồm \({k_0} + 1\) bạn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Điều này mâu thuẫn với giả thiết về \({k_0}\).

+)Nếu \(A\) thắng \(B\) nhưng thua \(C\). Lần lượt xét các bạn đứng phía trên \(B\) sẽ xuất hiện 2 khả năng

Tồn tại hai bạn liên tiếp phía trên \(B\) (có thể gồm \(B\) ) mà bạn ở trên thắng \(A\) đồng thời bạn kề dưới thua \(A\). Đến đây, ta lại có thể xếp \(A\) vào giữa hai bạn này và dẫn tới mâuu thuẫn với giả thiết về \({k_0}\).

\(A\) thắng tất cả các bạn ở phía trên \(B\). Khi đó, ta lại có thể xếp \(A\) lên đầu hàng và cũng dẩn tới mâu thuẫn với giả thiết về \({k_0}\).

Tóm lại, giả sử là sai và bài toán được chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link