Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC có AB = 1, AC = 2, \(\angle BAC = {60^0}\). Điểm S thay đổi thuộc
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC có AB = 1, AC = 2, \(\angle BAC = {60^0}\). Điểm S thay đổi thuộc đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P) (S khác A). Gọi B1, C1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Đường kính MN thay đổi của mặt cầu (T) ngoại tiếp khối tứ diện ABCB1C1 và I là điểm cách tâm mặt cầu (T) một khoảng bằng ba lần bán kính. Tính giá trị nhỏ nhất của IM + IN.
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A = 3 \Leftrightarrow BC = \sqrt 3 \).
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: \(R = \dfrac{{BC}}{{2\sin A}} = 1.\)
Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, A’ đối xứng với A qua J.
Ta chứng minh được: \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot A'C\\AB \bot A'B\\A{B_1} \bot A;{B_1}\\A{C_1} \bot A'{C_1}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow A,\,\,B,\,\,C,\,\,{A_1},\,\,{B_1}\) cùng thuộc mặt cầu tâm J đường kính AA’ = 2R = 2 = MN.
Đặt IM = x, IN = y với \(x,y \in \left[ {2;4} \right]\).
+ Nếu I, J, M, N thẳng hàng \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2,\,\,y = 4\\x = 4,\,\,y = 2\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 20.\)
+ Nếu I, J, M, N không thẳng hàng
\( \Rightarrow I{J^2} = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{2} - \dfrac{{M{N^2}}}{4} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 2\left( {I{J^2} + \dfrac{{M{N^2}}}{4}} \right) = 2\left( {9 + 1} \right) = 20\).
\( \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 20.\)
Do \(x,\,\,y \in \left[ {2;4} \right] \Rightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow xy \ge 2\left( {x + y} \right) - 4.\)
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 20 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 20 = 2xy \ge 4\left( {x + y} \right) - 8\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 4\left( {x + y} \right) - 12 \ge 0 \Leftrightarrow x + y \ge 6\end{array}\)
Vậy \({\left( {x + y} \right)_{\min }} = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2,\,\,y = 4\\y = 2,\,\,x = 4\end{array} \right.\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
