Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt

Câu hỏi số 618926:

Vận dụng

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua CD’ và tạo với mặt phẳng (A’B’C’D’) một góc \(\varphi \) với \(\tan \varphi = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chia khối lập phương thành hai khối đa diện có thể tích là V₁, V₂ với V₁ > V₂. Tính V₁.

A. \({V_1} = \dfrac{7}{{12}}{a^3}\).

B. \({V_1} = \dfrac{{10}}{{17}}{a^3}\).

C. \({V_1} = \dfrac{7}{{24}}{a^3}\).

D. \({V_1} = \dfrac{{17}}{{24}}{a^3}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:618926

Giải chi tiết

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua CD’ và cắt C’B’ tại I \( \Rightarrow \left( {A'B'C'D'} \right) \cap \left( \alpha \right) = D'I\).

Kẻ \(C'H \bot DI \Rightarrow DI \bot CH \Rightarrow \varphi = \angle CHC'.\)

Xét tam giác CC’H vuông tại C’ có: \(C'H = C'C.\cot \varphi = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\).

Xét tam giác C’D’I vuông tại C’ có: \(\dfrac{1}{{C'{H^2}}} = \dfrac{1}{{C'D{'^2}}} + \dfrac{1}{{C'{I^2}}} \Rightarrow C'{I^2} = 4{a^2} \Rightarrow C'I = 2a.\)

Ta thấy C’I = 2a thì

\(CI \cap BB' = \left\{ Q \right\} \Rightarrow Q\) là trung điểm của BB’.

\(D'I \cap A'B' = \left\{ P \right\} \Rightarrow P\) là trung điểm của A’B’.

Ta có:

\(\begin{array}{l}{V_{I.CC'D'}} = {V_{I.B'PQ}} + {V_{CD'C'.QPB'}}\\ \Rightarrow {V_{CD'C'.QPB'}} = {V_{I.CC'D'}} - {V_{I.B'PQ}}\\ \Rightarrow {V_{CD'C'.QPB'}} = \dfrac{1}{3}.2a.\dfrac{1}{2}.a.a - \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{1}{2}.a.a = \dfrac{{7{a^3}}}{{24}} = {V_2}\end{array}\)

Vì \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {V_1} + {V_2} \Rightarrow {V_1} = {V_{ABCD.A'B'C'D'}} - {V_2} = {a^3} - \dfrac{{7{a^3}}}{{24}} = \dfrac{{17{a^3}}}{{24}}\).

Vậy \({V_1} = \dfrac{{17{a^3}}}{{24}}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.