Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left( { - 25;0} \right)\) sao cho hàm số \(y = \left(

Câu hỏi số 618928:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left( { - 25;0} \right)\) sao cho hàm số \(y = \left( {{x^4} - 5} \right){e^x} - m{x^2} - \left( {{m^2} - m} \right)x + 2\) luôn đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)?

A. 5.

B. 24.

C. 20.

D. 19.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:618928

Phương pháp giải

Để hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right) \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x > 2.\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}y = \left( {{x^4} - 5} \right){e^x} - m{x^2} - \left( {{m^2} - m} \right)x + 2\\ \Rightarrow y' = 4{x^3}{e^x} + \left( {{x^4} - 5} \right){e^x} - 2mx - \left( {{m^2} - m} \right)\\ \Rightarrow y' = \left( {{x^4} + 4{x^3} - 5} \right){e^x} - 2mx - \left( {{m^2} - m} \right)\end{array}\)

Đặt \(h\left( x \right) = \left( {{x^4} + 4{x^3} - 5} \right){e^x}\) ta có

\(\begin{array}{l}h'\left( x \right) = \left( {4{x^3} + 12{x^2}} \right){e^x} + \left( {{x^4} + 4{x^3} - 5} \right){e^x}\\h'\left( x \right) = \left( {4{x^3} + 12{x^2} + {x^4} + 4{x^3} - 5} \right){e^x}\\h'\left( x \right) = \left( {{x^4} + 8{x^3} + 12{x^2} - 5} \right){e^x}\end{array}\)

\(\forall x > 2\, \Rightarrow {x^4} - 5 > 0 \Rightarrow {x^4} + 8{x^3} + 12{x^2} - 5 > 0\,\,\forall x > 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow h'\left( x \right) > 0\,\,\forall x > 2\\ \Rightarrow h\left( x \right) > h\left( 2 \right) = 43{e^2}\,\,\forall x > 2\end{array}\)

Để hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right) \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x > 2.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x^4} + 4{x^3} - 5} \right){e^x} - 2mx - \left( {{m^2} - m} \right) \ge 0\,\,\forall x > 2\\ \Leftrightarrow \left( {{x^4} + 4{x^3} - 5} \right){e^x} \ge 2mx + \left( {{m^2} - m} \right)\,\,\forall x \ge 2\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Đặt \(g\left( x \right) = 2mx + \left( {{m^2} - m} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = 2m < 0\,\,\forall x > 2\,\,\,\,\left( {do\,\,m \in \left( { - 25;0} \right)} \right)\)

=> Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow g\left( x \right) < g\left( 2 \right)\,\,\forall x > 2\\ \Leftrightarrow g\left( x \right) < {m^2} + 3m\,\,\forall x > 2\end{array}\)

Để (1) nghiệm đúng với mọi x > 2 \( \Rightarrow 43{e^2} > {m^2} + 3m \Leftrightarrow {m^2} + 3m - 43{e^2} < 0 \Leftrightarrow - 19,39 < m < 16,39.\)

Kết hợp điều kiện \(m \in \left( { - 25;0} \right),\) Vậy có 19 giá trị nguyên m thoả mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.