Chứng minh các bất đẳng thức sau luôn đúng với số thực \(x\)a) \( - \left| {6x + 1} \right| - \left|

Câu hỏi số 619975:

Vận dụng

Chứng minh các bất đẳng thức sau luôn đúng với số thực \(x\)

a) \( - \left| {6x + 1} \right| - \left| {6x - 8} \right| \le - 9\)b) \( - \left| {5 + 4x} \right| - \left| {4x - 3} \right| \le - 8\) c) \( - 4\left| {x - 6} \right| - 2\left| {2x + 5} \right| \le - 34\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:619975

Phương pháp giải

+ Với mọi số thực \(a,b\) ta có: \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(ab \ge 0\)

+ Khi nhân hoặc chia với số âm ta cần đổi chiều bất phương trình.

Giải chi tiết

a) \( - \left| {6x + 1} \right| - \left| {6x - 8} \right| \le - 9\)\( \Leftrightarrow - \left( {\left| {6x + 1} \right| + \left| {6x - 8} \right|} \right) \le - 9\)

Ta có: \(\left| {6x + 1} \right| + \left| {6x - 8} \right| = \left| {6x + 1} \right| + \left| {8 - 6x} \right| \ge \left| {6x + 1 + 8 - 6x} \right| = 9\)

\( \Rightarrow \left| {6x + 1} \right| + \left| {8 - 6x} \right| \ge 9\)

\( \Rightarrow - \left( {\left| {6x + 1} \right| + \left| {8 - 6x} \right|} \right) \le - 9\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {6x + 1} \right)\left( {8 - 6x} \right) \ge 0\)

+ TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}6x + 1 \ge 0\\8 - 6x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - \dfrac{1}{6}\\x \le \dfrac{4}{3}\end{array} \right. \Rightarrow - \dfrac{1}{6} \le x \le \dfrac{4}{3}\)

+ TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}6x + 1 \le 0\\8 - 6x \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le - \dfrac{1}{6}\\x \ge \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\) (Vô lí)

Vậy \( - \left| {6x + 1} \right| - \left| {6x - 8} \right| \le - 9,\forall x\) khi và chỉ khi \( - \dfrac{1}{6} \le x \le \dfrac{4}{3}\)

b) \( - \left| {5 + 4x} \right| - \left| {4x - 3} \right| \le - 8\)\( \Leftrightarrow - \left( {\left| {5 + 4x} \right| + \left| {4x - 3} \right|} \right) \le - 8\)

Ta có : \(\left| {5 + 4x} \right| + \left| {4x - 3} \right| = \left| {5 + 4x} \right| + \left| {3 - 4x} \right| \ge \left| {5 + 4x + 3 - 4x} \right| = 8\)

\( \Rightarrow \left| {5 + 4x} \right| + \left| {3 - 4x} \right| \ge 8\)

\( \Rightarrow - \left( {\left| {5 + 4x} \right| + \left| {3 - 4x} \right|} \right) \le - 8\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {5 + 4x} \right)\left( {3 - 4x} \right) \ge 0\)

+ TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}5 + 4x \ge 0\\3 - 4x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - \dfrac{5}{4}\\x \le \dfrac{3}{4}\end{array} \right. \Rightarrow - \dfrac{5}{4} \le x \le \dfrac{3}{4}\)

+ TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}5 + 4x \le 0\\3 - 4x \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le - \dfrac{5}{4}\\x \ge \dfrac{3}{4}\end{array} \right.\) (Vô lí)

Vậy \( - \left| {5 + 4x} \right| - \left| {4x - 3} \right| \le - 8,\forall x\) khi và chỉ khi \( - \dfrac{5}{4} \le x \le \dfrac{3}{4}\)

c) \( - 4\left| {x - 6} \right| - 2\left| {2x + 5} \right| \le - 34\)\( \Leftrightarrow - \left| {4x - 24} \right| - \left| {4x + 10} \right| \le - 34 \Leftrightarrow - \left( {\left| {4x - 24} \right| + \left| {4x + 10} \right|} \right) \le - 34\)

Ta có : \(\left| {4x - 24} \right| + \left| {4x + 10} \right| = \left| {24 - 4x} \right| + \left| {4x + 10} \right| \ge \left| {24 - 4x + 4x + 10} \right| = 34\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {24 - 4x} \right| + \left| {4x + 10} \right| \ge 34\\ \Rightarrow - \left( {\left| {24 - 4x} \right| + \left| {4x + 10} \right|} \right) \le - 34\end{array}\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {24 - 4x} \right)\left( {4x + 10} \right) \ge 0\)

+ TH1 : \(\left\{ \begin{array}{l}24 - 4x \ge 0\\4x + 10 \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 6\\x \ge - \dfrac{5}{2}\end{array} \right. \Rightarrow - \dfrac{5}{2} \le x \le 6\)

+ TH2 : \(\left\{ \begin{array}{l}24 - 4x \le 0\\4x + 10 \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 6\\x \le - \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\) (Vô lí)

Vậy \( - 4\left| {x - 6} \right| - 2\left| {2x + 5} \right| \le - 34,\forall x\) khi và chỉ khi \( - \dfrac{5}{2} \le x \le 6\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link