Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:a) \(M = \dfrac{{21\left| {4x + 6} \right| + 33}}{{3\left| {4x + 6}

Câu hỏi số 619980:

Vận dụng

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) \(M = \dfrac{{21\left| {4x + 6} \right| + 33}}{{3\left| {4x + 6} \right| + 5}}\)b) \(N = \dfrac{{6\left| {x + 5} \right| + 14}}{{2\left| {x + 5} \right| + 14}}\) c) \(P = \dfrac{{ - 15\left| {x + 7} \right| - 68}}{{3\left| {x + 7} \right| + 12}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:619980

Phương pháp giải

+ Với mọi số thực \(x\), ta có : \(\left| x \right| \ge 0\)

+ Khi nhân hoặc chia với số âm ta cần đổi chiều bất phương trình

+ Mẫu số càng lớn thì phân số càng nhỏ và ngược lại

Giải chi tiết

a) \(M = \dfrac{{21\left| {4x + 6} \right| + 33}}{{3\left| {4x + 6} \right| + 5}}\)

Đặt \(\left| {4x + 6} \right| = a\left( {a \ge 0} \right)\)

Khi đó \(M = \dfrac{{21a + 33}}{{3a + 5}} = \dfrac{{7\left( {3a + 5} \right) - 2}}{{3a + 5}} = 7 - \dfrac{2}{{3a + 5}}\)

Vì \(a \ge 0 \Rightarrow 3a \ge 0 \Rightarrow 3a + 5 \ge 5\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{2}{{3a + 5}} \le \dfrac{2}{5}\\\,\,\, - \dfrac{2}{{3a + 5}} \ge - \dfrac{2}{5}\\7 - \dfrac{2}{{3a + 5}} \ge 7 - \dfrac{2}{5}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,M \ge \dfrac{{33}}{5}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = 0 \Rightarrow \left| {4x + 6} \right| = 0 \Rightarrow x = - \dfrac{3}{2}\)

Vậy GTNN của \(M\) là \(\dfrac{{33}}{5}\) khi và chỉ khi \(x = - \dfrac{3}{2}\)

b) \(N = \dfrac{{6\left| {x + 5} \right| + 14}}{{2\left| {x + 5} \right| + 14}}\)

Đặt \(\left| {x + 5} \right| = a\left( {a \ge 0} \right)\)

Khi đó \(N = \dfrac{{6a + 14}}{{2a + 14}} = \dfrac{{3\left( {2a + 14} \right) - 28}}{{2a + 14}} = 3 - \dfrac{{28}}{{2a + 14}}\)

Vì \(a \ge 0 \Rightarrow 2a \ge 0 \Rightarrow 2a + 14 \ge 14\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{28}}{{2a + 14}} \le \dfrac{{28}}{{14}}\\\,\, - \dfrac{{28}}{{2a + 14}} \ge - \dfrac{{28}}{{14}}\\3 - \dfrac{{28}}{{2a + 14}} \ge 3 - \dfrac{{28}}{{14}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,N \ge 1\end{array}\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi \(a = 0 \Rightarrow \left| {x + 5} \right| = 0 \Rightarrow x = - 5\)

Vậy GTNN của \(N\) là \(1\) khi và chỉ khi \(x = - 5\)

c) \(P = \dfrac{{ - 15\left| {x + 7} \right| - 68}}{{3\left| {x + 7} \right| + 12}}\)

Đặt \(\left| {x + 7} \right| = a\left( {a \ge 0} \right)\)

Khi đó \(P = \dfrac{{ - 15a - 68}}{{3a + 12}} = \dfrac{{ - 5\left( {3a + 12} \right) - 8}}{{3a + 12}} = - 5 - \dfrac{8}{{3a + 12}}\)

Vì \(a \ge 0 \Rightarrow 3a \ge 0 \Rightarrow 3a + 12 \ge 12\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{8}{{3a + 12}} \le \dfrac{8}{{12}}\\\,\,\,\,\,\, - \dfrac{8}{{3a + 12}} \ge - \dfrac{8}{{12}}\\ - 5 - \dfrac{8}{{3a + 12}} \ge - 5 - \dfrac{8}{{12}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,P \ge - \dfrac{{17}}{3}\end{array}\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi \(a = 0 \Rightarrow \left| {x + 7} \right| = 0 \Rightarrow x = - 7\)

Vậy GTNN của \(P\) là \( - \dfrac{{17}}{3}\) khi và chỉ khi \(x = - 7\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link