Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Trong đoạn \(\left[ { -

Câu hỏi số 620100:

Vận dụng

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Trong đoạn $\left[ { - 20;20} \right]$, có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $y = \left| {10f\left( {x - m} \right) - \dfrac{{11}}{3}{m^2} + \dfrac{{37}}{3}m} \right|$ có 3 điểm cực trị?

A. 40.

B. 36.

C. 34.

D. 32.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:620100

Phương pháp giải

Số điểm cực trị của hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ bằng số cực trị của hàm số $y = f\left( x \right)$ cộng với số giao điểm khác cực trị của đồ thị hàm số với trục hoành.

Giải chi tiết

Xét hàm số $g\left( x \right) = 10f\left( {x - m} \right) - \dfrac{{11}}{3}{m^2} + \dfrac{{37}}{3}m \Rightarrow g'\left( x \right) = 10f'\left( {x - m} \right)$.

$g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( {x - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - m = 0\\x - m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = m + 2\end{array} \right.$.

Ta có bảng sau:

Áp dụng định lý: Số điểm cực trị của hàm số $y = |g(x)|$ bằng tổng số điểm cực trị của $g(x)$ và số giao điểm cắt ngang (nghiệm bội lẻ) của đồ thị $g(x)$ với trục hoành $Ox$.

Ta đã có $g(x)$ luôn có 2 cực trị. Để hàm số $y = |g(x)|$ có đúng 3 điểm cực trị thì phương trình $g(x) = 0$ phải có đúng 1 nghiệm bội lẻ.

Điều kiện xảy ra là đồ thị $g(x)$ nằm hoàn toàn phía trên trục $Ox$, nằm hoàn toàn phía dưới trục $Ox$, hoặc có 1 điểm cực trị tiếp xúc với trục $Ox$ (nghiệm kép không tính là điểm cắt ngang).

Hay nói cách khác, hai giá trị cực trị phải cùng dấu hoặc có một giá trị bằng 0: $y_{CĐ} \cdot y_{CT} \ge 0$

Do $y_{CĐ} > y_{CT}$, ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Hai cực trị cùng nằm dưới trục hoành (hoặc cực đại chạm trục hoành).

y_{CĐ} \le 0 \Leftrightarrow -\frac{11}{3}m^2 + \frac{37}{3}m + 30 \le 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} m \ge 5 \\ m \le -\frac{18}{11} \end{bmatrix}

Trường hợp 2: Hai cực trị cùng nằm trên trục hoành (hoặc cực tiểu chạm trục hoành).

y_{CT} \ge 0 \Leftrightarrow -\frac{11}{3}m^2 + \frac{37}{3}m - 10 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{15}{11} \le m \le 2

Theo đề bài, $m \in \mathbb{Z}$ và $m \in [-20; 20]$.

Từ $m \le -\frac{18}{11}$ (tức $m \le -1.63$): $m \in \{-20; -19; \dots; -2\}$. Có 19 giá trị.

Từ $m \ge 5$: $m \in \{5; 6; \dots; 20\}$. Có 16 giá trị.

Từ $\frac{15}{11} \le m \le 2$ (tức $1.36 \le m \le 2$): $m \in \{2\}$. Có 1 giá trị.

Tổng cộng có: $19 + 16 + 1 = \mathbf{36}$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.