Cho đường tròn tâm \(\left( O \right)\), bán kính \(R\) và hai điểm \(B,C\) cố định trên \(\left(

Câu hỏi số 620676:

Vận dụng cao

Cho đường tròn tâm \(\left( O \right)\), bán kính \(R\) và hai điểm \(B,C\) cố định trên \(\left( O \right)\), \(BC = R\). Điểm \(A\) thay

đổi trên cung lớn \(BC\) của \(\left( O \right)\)sao cho \(AB < AC\). Đường thẳng qua \(B\) và vuông góc với \(AC\)

tại \(K\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(P\), (\(P\) khác \(B\)). Kẻ \(PQ\) vuông góc với đường thẳng \(BC\) tại \(Q\). Tia

phân giác trong của \(\angle BAC\) cắt cạnh \(BC\) tại \(D\). Tiếp tuyến tại \(A\) của \(\left( O \right)\) cắt đường thẳng

\(BC\) tại \(M\).

a) Chứng minh \(\angle ABK = \angle KQP\) và \(\dfrac{{MB}}{{MC}} = {\left( {\dfrac{{BD}}{{DC}}} \right)^2}\)

b) Khi \(A\) đối xứng với \(C\) qua \(\left( O \right)\), tính diện tích tứ giác \(AMDO\) theo \(R\)

c) Tia \(AD\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(E\) (khác \(A\)). Lấy điểm I trên đoạn thẳng AE sao cho \(EI{\rm{ }} = {\rm{ }}EB\). Đường thẳng BI cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(L\) (khác \(B\)). Qua \(B\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(LE\) cắt đường thẳng \(LC\) tại \(F\). Xác định vị trí điểm\(A\) để độ dài \(BF\) lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:620676

Giải chi tiết

Ta có \(PQ \bot QC\) và \(PK \bot KC\) (giả thiết) nên tứ giác PQCK nội tiếp.

Suy ra \(\angle {KQP} = \angle {PCK}\) (cùng chắn cung PK)

Do ABCP nội tiếp \((O;R)\) nên \(\angle {ABP} = \angle {ACP}\) (cùng chắn cung AP)

Từ (1) và (2) \(\angle {KQP} = \angle {ABK}\left( { = \angle {PCK}} \right)\)( đpcm ).

Dễ chứng minh \(\Delta MAB\~\Delta MCA\) (g.g) nên ta có:

\(\dfrac{{MA}}{{MC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} \Leftrightarrow \dfrac{{M{A^2}}}{{M{C^2}}} = \dfrac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{{MB \cdot MC}}{{M{C^2}}} = \dfrac{{D{B^2}}}{{D{C^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{{MB}}{{MC}} = {\left( {\dfrac{{DB}}{{DC}}} \right)^2}.\)

b) Khi A đối xứng với \(C\) qua \(O\) thì AC là đường kính của \((O)\), do đó ta có

\(AC = 2R,\quad AO = OC = CB = R.\)

Áp dụng định lý Pytago vào \(\Delta ACB\) vuông tại \(B\) ta có

\(AB = \sqrt {A{C^2} - C{B^2}} = \sqrt {4{R^2} - {R^2}} = R\sqrt 3 \)

Đồng thời \(AC = 2R = 2BC \Rightarrow \angle {ACB} = {60^\circ } \Rightarrow \angle {ACB} = \angle {MAB} = {60^\circ }\) (cùng phụ \(\angle {BAC}\) ).

Biến đổi các tỷ lệ thức, ta có.

\(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{DB}}{{DC}}{\rm{ }} \Leftrightarrow \dfrac{{AB + AC}}{{AC}} = \dfrac{{BC}}{{DC}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{R\sqrt 3 + 2R}}{{2R}} = \dfrac{{BC}}{{DC}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{DC}}{{BC}} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 + 2}} = 4 - 2\sqrt 3 \\ \Leftrightarrow DC = R\left( {4 - 2\sqrt 3 } \right)\end{array}\)

Gọi D N là đường cao trong \(\Delta COD\,\,\,\left( {N \in OC} \right)\). Ta biến đổi diện tích như sau:

\(\begin{array}{l}{S_{AMDO}} = {S_{AMB}} + {S_{ABDO}} = \dfrac{{AB \cdot MB}}{2} + {S_{ABC}} - {S_{ODC}}\\ = \dfrac{{A{B^2} \cdot \tan \angle {MAB}}}{2} + \dfrac{{AB \cdot BC}}{2} - \dfrac{{DN \cdot OC}}{2}\\ = \dfrac{{3{R^2} \cdot \tan \angle {{{60}^\circ }}}}{2} + \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{{\sin \angle {DCN} \cdot DC \cdot R}}{2}\\ = \dfrac{{3\sqrt 3 {R^2}}}{2} + \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{{\sin {{60}^\circ } \cdot R(4 - 2\sqrt 3 ) \cdot R}}{2}\\ = \dfrac{{2\sqrt 3 + 3}}{2}{R^2}\end{array}\)

Vậy \({S_{AMDO}} = \dfrac{{2\sqrt 3 + 3}}{2}{R^2}\).

c) Ta có \(\angle {BAE} = \angle {BLE}\) (cùng chắn cung EB\(),\)\(\angle {EAC} = \angle {ELC}\)(cùng chắn cung EC)

Mà \(\angle {BAE} = \angle {EAC}\) (AE là phân giác \(\angle {BAC})\) nên \(\angle {BLE} = \angle {ELC}\) và \(EB = EC\). (1)

Do đó L E là phân giác \(\angle {BLF}\) mà theo giả thiết ta có LE vuông góc BF.

Từ đây ta được LE là đường trung trực BF hay \(EB = EF\). (2)

Từ (1) và (2) và giả thiết \(EI = EB\) ta được \(EB = EI = EC = EF\).

Do đó 4 điểm B, I, C, F nội tiếp đường tròn \((E;EB)\)

nên BF là dây cung của \((E;EB)\).

Vì vậy để BF đạt giá trị lớn nhất thì BF là đường kính của \((E;EB)\).

Điều này xảy ra khi và chỉ khi BP là đường kính của \((O;R)\).

Khi đó \(K\) thuộc OB, mà \(\angle {AKB} = {90^\circ }\) (giả thiết) nên \(OB \bot AC\). (3)

Xét \((O;R)\) ta thấy AC là dây cung không đi qua \(O\), vậy nên \(K\) là trung điểm AC (4)

Từ (3) và (4) suy ra B là điểm nằm chính giữa cung AC hay \(AB = BC\).

Vậy với \(AB = BC\) hay \(B\) là điểm chính giữa cung AC thì BF đạt giá trị lớn nhất.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link