Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để bất phương trình \(1 + {\log _3}\left( {{x^2} + 1}

Câu hỏi số 620804:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để bất phương trình \(1 + {\log _3}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _3}\left( {m{x^2} + 2x + m} \right)\) có nghiệm đúng với mọi số thực \(x\)?

A. 6.

B. 2.

C. 1.

D. 4.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:620804

Phương pháp giải

- Tìm ĐKXĐ

- Đưa về cùng cơ số

- Sử dụng: \({\log _3}x \ge {\log _3}y \Leftrightarrow x \ge y\)

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(m{x^2} + 2x + m > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\Delta ' = 1 - {m^2} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 1\)

Ta có: \(1 + {\log _3}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _3}\left( {m{x^2} + 2x + m} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _3}\left( {3{x^2} + 3} \right) \ge {\log _3}\left( {m{x^2} + 2x + m} \right)\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 3 \ge m{x^2} + 2x + m\\ \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right){x^2} + \left( {m - 3} \right) + 2x \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \le - 2x\\ \Leftrightarrow m \le \dfrac{{ - 2x}}{{{x^2} + 1}} + 3\end{array}\)

Xét \(f\left( x \right) = - \dfrac{{2x}}{{{x^2} + 1}} + 3,\,\,x \in \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 2\left( {{x^2} + 1} \right) + 4{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{2{x^2} - 2}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\end{array}\)

Bảng biến thiên

Để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi số thực \(x\) thì \(m \le 2\)

Kết hợp lại ta được \(1 < m \le 2\)

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = 2\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.