Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2022} \right)\). Có bao

Câu hỏi số 621552:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2022} \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn \(\left[ { - 2022;2022} \right]\) để phương trình \(f'\left( x \right) = \left( {m + 1} \right)f\left( x \right)\) có 2022 nghiệm phân biệt.

A. 2023.

B. 2022.

C. 4045.

D. 4044.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:621552

Phương pháp giải

\({\left( {{u_1}.{u_2}.{u_3}...{u_n}} \right)^\prime } = {u_1}^\prime .{u_2}.{u_3}...{u_n} + {u_1}.{u_2}^\prime .{u_3}...{u_n} + ... + {u_1}.{u_2}.{u_3}...{u_n}^\prime \).

Giải chi tiết

Dễ dàng thấy rằng: \(f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2022} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{x - 1}} + \dfrac{{f\left( x \right)}}{{x - 2}} + ... + \dfrac{{f\left( x \right)}}{{x - 2022}}\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \left[ {\dfrac{1}{{x - 1}} + \dfrac{1}{{x - 2}} + ... + \dfrac{1}{{x - 2022}}} \right].f\left( x \right)\,\,\left( {x \notin \left\{ {1;2;...;2022} \right\}} \right)\end{array}\)

Và \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2022} \right) - 0}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2022} \right) = \dfrac{{2022!}}{{\left( { - 1} \right)}}\).

…. \( \Rightarrow f'\left( i \right) = \dfrac{{2022!}}{{\left( { - i} \right)}}\,\,\,\,\left( {i \in \left\{ {1;2;...;2022} \right\}} \right)\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) \ne 0\,\,\,\forall \in \left\{ {1;2;...;2022} \right\}\).

Mà \(f\left( x \right) = 0\,\,\,\,\forall x \in \left\{ {1;2;...;2022} \right\}\).

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \left( {m + 1} \right)f\left( x \right)\) không có nghiệm thuộc tập \(\left\{ {1;2;...;2022} \right\}\).

Xét phương trình \(f'\left( x \right) = \left( {m + 1} \right)f\left( x \right)\) trên tập \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {1;2;...;2022} \right\}\).

Phương trình trên có 2022 nghiệm phân biệt.

\( \Leftrightarrow \) Phương trình \(\dfrac{1}{{x - 1}} + \dfrac{1}{{x - 2}} + ... + \dfrac{1}{{x - 2022}} = m + 1\) có 2022 nghiệm phân biệt trên D. (*)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{1}{{x - 1}} + \dfrac{1}{{x - 2}} + ... + \dfrac{1}{{x - 2022}}\) trên D, có:

\(g'\left( x \right) = - \left( {\dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} + ... + \dfrac{1}{{{{\left( {x - 2022} \right)}^2}}}} \right) < 0,\forall x \in D\).

Ta có bảng sau:

Do đó: (*) \( \Leftrightarrow m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 1\).

Mà m là số nguyên thuộc đoạn \( \Rightarrow m \in \left\{ { - 2022; - 2021;...;2022} \right\}\backslash \left\{ 0 \right\}\): 4044 giá trị.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.