Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 0\) và \(f'\left( x \right) = 2\sin

Câu hỏi số 621553:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 0\) và \(f'\left( x \right) = 2\sin x.{\cos ^2}2x,\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \) bằng

A. \(\dfrac{{242}}{{225}}\).

B. \(\dfrac{{249}}{{225}}\).

C. \( - \dfrac{{249}}{{225}}\).

D. \( - \dfrac{{242}}{{225}}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:621553

Phương pháp giải

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.

Giải chi tiết

\(f'\left( x \right) = 2\sin x.{\cos ^2}2x,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Rightarrow f\left( x \right) = \int {2\sin x.{{\cos }^2}2x} dx\).

Đặt \(\cos x = u \Rightarrow - \sin xdx = du\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right) = - 2\int {{{\left( {2{u^2} - 1} \right)}^2}} du\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 2\int {\left( {4{u^4} - 4{u^2} + 1} \right)} du\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{8}{5}{u^5} + \dfrac{8}{3}{u^3} - 2u + C\end{array}\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = - \dfrac{8}{5}{\cos ^5}x + \dfrac{8}{3}{\cos ^3}x - 2\cos x + C\).

Mà \(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow \)\(f\left( x \right) = - \dfrac{8}{5}{\cos ^5}x + \dfrac{8}{3}{\cos ^3}x - 2\cos x\).

Khi đó:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( { - \dfrac{8}{5}{{\cos }^5}x + \dfrac{8}{3}{{\cos }^3}x - 2\cos x} \right)dx} \\\,\,\,\, = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( { - \dfrac{8}{5}{{\cos }^4}x + \dfrac{8}{3}{{\cos }^2}x - 2} \right)\cos xdx} \\\,\,\,\, = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( { - \dfrac{8}{5}{{\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)}^2} + \dfrac{8}{3}\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) - 2} \right)\cos xdx} \end{array}\)

Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = 2\int\limits_0^1 {\left( { - \dfrac{4}{5}{{\left( {1 - {t^2}} \right)}^2} + \dfrac{4}{3}\left( {1 - {t^2}} \right) - 1} \right)dt} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\int\limits_0^1 {\left( { - \dfrac{4}{5} + \dfrac{8}{5}{t^2} - \dfrac{4}{5}{t^4} + \dfrac{4}{3} - \dfrac{4}{3}{t^2} - 1} \right)dt} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} = 2\int\limits_0^1 {\left( { - \dfrac{4}{5}{t^4} + \dfrac{4}{{15}}{t^2} - \dfrac{7}{{15}}} \right)dt} \\ = 2\left. {\left( { - \dfrac{4}{{25}}{t^5} + \dfrac{4}{{45}}{t^3} - \dfrac{7}{{15}}t} \right)} \right|_0^1\\ = 2\left( { - \dfrac{4}{{25}} + \dfrac{4}{{45}} - \dfrac{7}{{15}} - 0} \right) = - \dfrac{{242}}{{225}}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.