Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N là các điểm lần lượt di động trên

Câu hỏi số 621556:

Vận dụng cao

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N là các điểm lần lượt di động trên đoạn thẳng AC, B’D’ sao cho 2AM = D’N. Khối tứ diện AMNB’ có thể tích lớn nhất bằng

A. \(\dfrac{{{a^3}}}{{24}}\).

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\).

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).

D. \(\dfrac{{{a^3}}}{6}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:621556

Phương pháp giải

Sử dụng tỉ số thể tích.

Giải chi tiết

Đặt \(AM = x\,\,\left( {0 \le x \le \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}} \right) \Rightarrow D'N = 2x\).

Ta có: \(\dfrac{{{V_{AMNB'}}}}{{{V_{ACNB'}}}} = \dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{x}{{a\sqrt 2 }} \Rightarrow {V_{AMNB'}} = \dfrac{x}{{a\sqrt 2 }}{V_{ACNB'}}\).

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{V_{ACNB'}}}}{{{V_{ACD'B'}}}} = \dfrac{{B'N}}{{B'D'}} = \dfrac{{a\sqrt 2 - 2x}}{{a\sqrt 2 }}\\ \Rightarrow {V_{ACNB'}} = \dfrac{{a\sqrt 2 - 2x}}{{a\sqrt 2 }}{V_{ACD'B'}}\\ \Rightarrow {V_{AMNB'}} = \dfrac{x}{{a\sqrt 2 }}.\dfrac{{a\sqrt 2 - 2x}}{{a\sqrt 2 }}{V_{ACD'B'}} = \dfrac{{x\left( {a\sqrt 2 - 2x} \right)}}{{2{a^2}}}{V_{ACD'B'}}\end{array}\).

Mà \({V_{ACD'B'}} = {V_{ABCD.A'B'C'D'}} - \left( {{V_{D.ACD'}} + {V_{C'.B'CD'}} + {V_{B.ACB'}} + {V_{A'.AB'D'}}} \right) = {a^3} - 4.\dfrac{1}{6}{a^3} = \dfrac{1}{3}{a^3}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{AMNB'}} = \dfrac{{x\left( {a\sqrt 2 - 2x} \right)}}{{2{a^2}}}.\dfrac{1}{3}{a^3}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{x\left( {a\sqrt 2 - 2x} \right)a}}{6}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - a}}{3}.\left( {{x^2} - \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}x} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - a}}{3}.\left( {{{\left( {x - \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2} - \dfrac{{{a^2}}}{8}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \le \dfrac{{ - a}}{3}.\left( { - \dfrac{{{a^2}}}{8}} \right) = \dfrac{{{a^3}}}{{24}}\end{array}\)

\( \Rightarrow {V_{AMNB'}}_{\,\max } = \dfrac{{{a^3}}}{{24}}\,\,khi\,x = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.