Cho hai số thực x, y thỏa mãn hệ thức \({2^{2\left| y \right| - {x^2}}} = {\log _{2\left| y \right| +

Câu hỏi số 621557:

Vận dụng cao

Cho hai số thực x, y thỏa mãn hệ thức \({2^{2\left| y \right| - {x^2}}} = {\log _{2\left| y \right| + 1}}x\). Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên \(m \in \left[ { - 2022;2022} \right]\) để tồn tại duy nhất một số thực x thỏa mãn hệ thức \(4{y^2} = 10{x^2} + mx + 1\)?

A. 2036.

B. 2033.

C. 2034.

D. 2035.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:621557

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{2^{2\left| y \right| - {x^2}}} = {\log _{2\left| y \right| + 1}}x,\,\,\left( {x > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{2^{2\left| y \right|}}}}{{{2^{{x^2}}}}} = \dfrac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_2}\left( {2\left| y \right| + 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{2^{2\left| y \right| + 1}}}}{{{2^{{x^2}}}}} = \dfrac{{{{\log }_2}{x^2}}}{{{{\log }_2}\left( {2\left| y \right| + 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2\left| y \right| + 1} \right){.2^{2\left| y \right| + 1}} = {\log _2}{x^2}{.2^{{x^2}}}\,\,(*)\end{array}\)

NX: Ta thấy: \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\left( {2\left| y \right| + 1} \right) \ge 0\\{2^{2\left| y \right| + 1}} \ge 2\end{array} \right. \Rightarrow VT \ge 0 \Rightarrow VP \ge 0\).

Mà \({2^{{x^2}}} \ge 1 \Rightarrow \)\({\log _2}{x^2} \ge 0 \Rightarrow {x^2} \ge 1 \Rightarrow x \ge 1\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t{.2^t}\,\,\left( {t \ge 1} \right)\) có:

\(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}}{.2^t} + {2^t}\ln 2.{\log _2}t = \dfrac{{{2^t}\left( {1 + {{\log }_2}t.{{\ln }^2}2.t} \right)}}{{t\ln 2}} > 0,\forall t \ge 1\).

\( \Rightarrow y = f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\).

Do đó: (*) \( \Leftrightarrow f\left( {2\left| y \right| + 1} \right) = f\left( {{x^2}} \right) \Leftrightarrow 2\left| y \right| + 1 = {x^2} \Leftrightarrow 2\left| y \right| = {x^2} - 1\).

Xét hệ thức \(4{y^2} = 10{x^2} + mx + 1\,\,\left( {x \in \left[ {1; + \infty } \right)} \right)\):

\( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} = 10{x^2} + mx + 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{{{x^4} - 12{x^2}}}{x} \Leftrightarrow m = {x^3} - 12x\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^3} - 12x\) trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\), có: \(g'\left( x \right) = 3{x^2} - 12,\,\,g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2\).

Ta có bảng sau:

Để tồn tại duy nhất một số thực \(x\) thỏa mãn hệ thức \(4{y^2} = 10{x^2} + mx + 1\) thì \(m > - 11\) hoặc \(m = - 16\).

Mà m là số nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 2022;2022} \right]\) nên \(m \in \left\{ { - 10; - 9;....;2021;2022} \right\} \cup \left\{ { - 16} \right\}\): 2034 giá trị.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.