Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) luôn nhận giá trị dương và có đạo hàm đến cấp 2 trên

Câu hỏi số 623102:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) luôn nhận giá trị dương và có đạo hàm đến cấp 2 trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) đồng thời thỏa mãn điều kiện \({\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} + f\left( x \right)\left[ {f''\left( x \right) - \dfrac{{f'\left( x \right)}}{x}} \right] = x\left( {2x + 1} \right)\) và \(f\left( 1 \right) = f'\left( 1 \right) = 2\). Tính giá trị của \(f\left( 2 \right)\).

A. \(\dfrac{{\sqrt {82} }}{2}\).

B. \(\dfrac{{133}}{6}\).

C. \(\dfrac{{\sqrt {123} }}{4}\).

D. \(\dfrac{{\sqrt {798} }}{6}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623102

Phương pháp giải

\({\left( {u.v} \right)^\prime } = u'v + uv',\,\,\,\,{\left( {\dfrac{u}{v}} \right)^\prime } = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).

Giải chi tiết

Với \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\) ta có: \({\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} + f\left( x \right)\left[ {f''\left( x \right) - \dfrac{{f'\left( x \right)}}{x}} \right] = x\left( {2x + 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow f'\left( x \right).f'\left( x \right) + f\left( x \right).f''\left( x \right) - \dfrac{{f'\left( x \right)f\left( x \right)}}{x} = 2{x^2} + x\\ \Leftrightarrow {\left( {f\left( x \right).f'\left( x \right)} \right)^\prime } - \dfrac{{f'\left( x \right)f\left( x \right)}}{x} = 2{x^2} + x\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {f\left( x \right).f'\left( x \right)} \right)}^\prime }.x - x'.\left( {f'\left( x \right)f\left( x \right)} \right)}}{{{x^2}}} = 2x + 1\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{f'\left( x \right)f\left( x \right)}}{x}} \right)^\prime } = 2x + 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\left( {\dfrac{{f'\left( x \right)f\left( x \right)}}{x}} \right)'dx} = \int {\left( {2x + 1} \right)dx} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)f\left( x \right)}}{x} = {x^2} + x + C\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right)f\left( x \right) = {x^3} + {x^2} + Cx\end{array}\).

Mà \(f\left( 1 \right) = f'\left( 1 \right) = 2 \Rightarrow 2.2 = 1 + 1 + C \Leftrightarrow C = 2\,\, \Rightarrow \)\(f'\left( x \right)f\left( x \right) = {x^3} + {x^2} + 2x\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_1^2 {f'\left( x \right)f\left( x \right)} dx = \int\limits_1^2 {\left( {{x^3} + {x^2} + 2x} \right)dx} \\ \Leftrightarrow \left. {\dfrac{1}{2}{f^2}\left( x \right)} \right|_1^2 = \left. {\left( {\dfrac{1}{4}{x^4} + \dfrac{1}{3}{x^3} + {x^2}} \right)} \right|_1^2\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {{f^2}\left( 2 \right) - {f^2}\left( 1 \right)} \right) = \dfrac{{109}}{{12}}\end{array}\).

\( \Leftrightarrow {f^2}\left( 2 \right) - {2^2} = \dfrac{{109}}{6} \Leftrightarrow {f^2}\left( 2 \right) = \dfrac{{109}}{6} + 4\)

\( \Leftrightarrow {f^2}\left( 2 \right) = \dfrac{{133}}{6} \Rightarrow f\left( 2 \right) = \dfrac{{\sqrt {798} }}{6}\) (do \(f\left( x \right) > 0,\forall x > 1\)).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.