Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : a) \(M = \dfrac{{15}}{{12}} - \dfrac{{28}}{{3\left| {x - 3} \right|

Câu hỏi số 623142:

Vận dụng

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

a) \(M = \dfrac{{15}}{{12}} - \dfrac{{28}}{{3\left| {x - 3} \right| + \left| {2y + 1} \right| + 35}}\)

b) \(N = \dfrac{2}{3} - \dfrac{{21}}{{\left| {x + 13} \right| + 5\left| {y + 5} \right| + 14}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623142

Phương pháp giải

+ \(\left| A \right| \ge 0\) với mọi số thực

+ Khi nhân hoặc chia với số âm ta cần đổi dấu bất đẳng thức

+ Chú ý: Mẫu số càng lớn thì phân số càng nhỏ

Giải chi tiết

a) \(M = \dfrac{{15}}{{12}} - \dfrac{{28}}{{3\left| {x - 3} \right| + \left| {2y + 1} \right| + 35}} = \dfrac{5}{4} - \dfrac{{28}}{{\left| {3x - 9} \right| + \left| {2y + 1} \right| + 35}}\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {3x - 9} \right| \ge 0,\forall x\\\left| {2y + 1} \right| \ge 0,\forall y\end{array} \right. \Rightarrow \left| {3x - 9} \right| + \left| {2y + 1} \right| \ge 0,\forall x,y\)

\( \Rightarrow \left| {3x - 9} \right| + \left| {2y + 1} \right| + 35 \ge 35,\forall x,y\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{28}}{{\left| {3x - 9} \right| + \left| {2y + 1} \right| + 35}} \le \dfrac{{28}}{{35}},\forall x,y\\\,\,\,\, - \dfrac{{28}}{{\left| {3x - 9} \right| + \left| {2y + 1} \right| + 35}} \ge - \dfrac{{28}}{{35}},\forall x,y\\\dfrac{5}{4} - \dfrac{{28}}{{\left| {3x - 9} \right| + \left| {2y + 1} \right| + 35}} \ge \dfrac{5}{4} - \dfrac{{28}}{{35}},\forall x,y\\ \Rightarrow M \ge - \dfrac{7}{{40}},\forall x,y\end{array}\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {3x - 9} \right| = 0\\\left| {2y + 1} \right| = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 9 = 0\\2y + 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

Vậy GTNN của \(M\) là \( - \dfrac{7}{{40}}\) khi và chỉ khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {3; - \dfrac{1}{2}} \right)\)

b) \(N = \dfrac{2}{3} - \dfrac{{21}}{{\left| {x + 13} \right| + 5\left| {y + 5} \right| + 14}} = \dfrac{2}{3} - \dfrac{{21}}{{\left| {x + 13} \right| + \left| {5y + 25} \right| + 14}}\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x + 13} \right| \ge 0,\forall x\\\left| {5y + 25} \right| \ge 0,\forall y\end{array} \right. \Rightarrow \left| {x + 13} \right| + \left| {5y + 25} \right| \ge 0,\forall x,y\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {x + 13} \right| + \left| {5y + 25} \right| + 14 \ge 14,\forall x,y\\\,\,\,\,\,\,\dfrac{{21}}{{\left| {x + 13} \right| + \left| {5y + 25} \right| + 14}} \le \dfrac{{21}}{{14}},\forall x,y\\\,\, - \dfrac{{21}}{{\left| {x + 13} \right| + \left| {5y + 25} \right| + 14}} \ge - \dfrac{3}{2},\forall x,y\\\dfrac{2}{3} - \dfrac{{21}}{{\left| {x + 3} \right| + \left| {5y + 25} \right| + 14}} \ge \dfrac{2}{3} - \dfrac{3}{2},\forall x,y\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,N \ge - \dfrac{5}{6},\forall x,y\end{array}\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x + 13} \right| = 0\\\left| {5y + 25} \right| = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 13 = 0\\5y + 25 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 13\\y = - 5\end{array} \right.\)

Vậy GTNN của \(N\) là \( - \dfrac{5}{6}\) khi và chỉ khi \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 13; - 5} \right)\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link