Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a) \(A = \dfrac{4}{5} + \dfrac{{20}}{{\left| {3x + 5} \right| + \left|

Câu hỏi số 623143:

Vận dụng

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

a) \(A = \dfrac{4}{5} + \dfrac{{20}}{{\left| {3x + 5} \right| + \left| {4y + 5} \right| + 8}}\)

b) \(B = - 6 + \dfrac{{24}}{{2\left| {x - 2} \right| + 3\left| {2y + 1} \right| + 6}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623143

Phương pháp giải

+ \(\left| A \right| \ge 0\) với mọi số thực

+ Khi nhân hoặc chia với số âm ta cần đổi dấu bất đẳng thức

+ Chú ý: Mẫu số càng lớn thì phân số càng nhỏ

Giải chi tiết

a) \(A = \dfrac{4}{5} + \dfrac{{20}}{{\left| {3x + 5} \right| + \left| {4y + 5} \right| + 8}}\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {3x + 5} \right| \ge 0,\forall x\\\left| {4y + 5} \right| \ge 0,\forall y\end{array} \right. \Rightarrow \left| {3x + 5} \right| + \left| {4y + 5} \right| \ge 0,\forall x,y\)

\(\begin{array}{l}\,\, \Rightarrow \left| {3x + 5} \right| + \left| {4y + 5} \right| + 8 \ge 8,\forall x,y\\\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{20}}{{\left| {3x + 5} \right| + \left| {4y + 5} \right| + 8}} \le \dfrac{{20}}{8},\forall x,y\\\dfrac{4}{5} + \dfrac{{20}}{{\left| {3x + 5} \right| + \left| {4y + 5} \right| + 8}} \le \dfrac{4}{5} + \dfrac{{20}}{8},\forall x,y\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,A \le \dfrac{{33}}{{10}},\forall x,y\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {3x + 5} \right| = 0\\\left| {4y + 5} \right| = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 5 = 0\\4y + 5 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{5}{3}\\y = - \dfrac{5}{4}\end{array} \right.\)

Vậy GTLN của A là \(\dfrac{{33}}{{10}}\) khi và chỉ khi \(\left( {x;y} \right) = \left( { - \dfrac{5}{3}; - \dfrac{5}{4}} \right)\)

b) \(B = - 6 + \dfrac{{24}}{{2\left| {x - 2} \right| + 3\left| {2y + 1} \right| + 6}}\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {2x - 4} \right| \ge 0,\forall x\\\left| {6y + 3} \right| \ge 0,\forall y\end{array} \right. \Rightarrow \left| {2x - 4} \right| + \left| {6y + 3} \right| \ge 0,\forall x,y\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\left| {2x - 4} \right| + \left| {6y + 3} \right| + 6 \ge 6,\forall x,y\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{24}}{{\left| {2x - 4} \right| + \left| {6y + 3} \right| + 6}} \le \dfrac{{24}}{6},\forall x,y\\ - 6 + \dfrac{{24}}{{\left| {2x - 4} \right| + \left| {6y + 3} \right| + 6}} \le - 6 + \dfrac{{24}}{6},\forall x,y\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,B \le - 2,\forall x,y\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {2x - 4} \right| = 0\\\left| {6y + 3} \right| = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 4 = 0\\6y + 3 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 2\end{array} \right.\)

Vậy GTLN của B là \( - 2\) khi và chỉ khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {2; - 2} \right)\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link