Tìm cặp số nguyên \(\left( {x,y} \right)\) thoả mãn : a) \(\left| {2x + 3} \right| + \left| {2x - 1} \right|

Câu hỏi số 623145:

Vận dụng cao

Tìm cặp số nguyên \(\left( {x,y} \right)\) thoả mãn :

a) \(\left| {2x + 3} \right| + \left| {2x - 1} \right| = \dfrac{8}{{2{{\left( {y - 5} \right)}^2} + 2}}\)

b) \(\left| {3x + 1} \right| + \left| {3x - 5} \right| = \dfrac{{12}}{{{{\left( {y + 3} \right)}^2} + 2}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623145

Phương pháp giải

+ Với \(\left\{ \begin{array}{l}A \ge m\\B \le m\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \)Để \(A = B\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}A = m\\B = m\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

a) \(\left| {2x + 3} \right| + \left| {2x - 1} \right| = \dfrac{8}{{2{{\left( {y - 5} \right)}^2} + 2}}\)

Ta có: \(\left| {2x + 3} \right| + \left| {2x - 1} \right| = \left| {2x + 3} \right| + \left| {1 - 2x} \right| \ge \left| {2x + 3 + 1 - 2x} \right| = 4\)

Vì \({\left( {y - 5} \right)^2} \ge 0,\forall x \Rightarrow 2{\left( {y - 5} \right)^2} \ge 0,\forall x\)

\(\begin{array}{l}2{\left( {y - 5} \right)^2} + 2 \ge 2,\forall x\\\dfrac{8}{{2{{\left( {y - 5} \right)}^2} + 2}} \le \dfrac{8}{2} = 4,\forall x\end{array}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {2x + 3} \right| + \left| {2x - 1} \right| \ge 4\\\dfrac{8}{{2{{\left( {y - 5} \right)}^2} + 2}} \le 4\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \)Để \(\left| {2x + 3} \right| + \left| {2x - 1} \right| = \dfrac{8}{{2{{\left( {y - 5} \right)}^2} + 2}}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {2x + 3} \right| + \left| {2x - 1} \right| = 4\\\dfrac{8}{{2{{\left( {y - 5} \right)}^2} + 2}} = 4\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {2x + 3} \right)\left( {1 - 2x} \right) \ge 0\left( 1 \right)\\{\left( {y - 5} \right)^2} = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

* Xét \(\left( 1 \right)\)

+ TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3 \ge 0\\1 - 2x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - \dfrac{3}{2}\\x \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow - \dfrac{3}{2} \le x \le \dfrac{1}{2} \Rightarrow x \in \left\{ { - 1;0} \right\}\)

+ TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3 \le 0\\1 - 2x \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le - \dfrac{3}{2}\\x \ge \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\) (Vô lí)

* Xét \(\left( 2 \right) \Rightarrow y - 5 = 0 \Rightarrow y = 5\)

Vậy \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( { - 1;5} \right),\left( {0;5} \right)} \right\}\)

b) \(\left| {3x + 1} \right| + \left| {3x - 5} \right| = \dfrac{{12}}{{{{\left( {y + 3} \right)}^2} + 2}}\)

Ta có: \(\left| {3x + 1} \right| + \left| {3x - 5} \right| = \left| {3x + 1} \right| + \left| {5 - 3x} \right| \ge \left| {3x + 1 + 5 - 3x} \right| = 6\)

Vì \({\left( {y + 3} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {y + 3} \right)^2} + 2 \ge 2 \Rightarrow \dfrac{{12}}{{{{\left( {y + 3} \right)}^2} + 2}} \le \dfrac{{12}}{2} = 6\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {3x + 1} \right| + \left| {3x - 5} \right| \ge 6\\\dfrac{{12}}{{{{\left( {y + 3} \right)}^2} + 2}} \le 6\end{array} \right. \Rightarrow \)Để \(\left| {3x + 1} \right| + \left| {3x - 5} \right| = \dfrac{{12}}{{{{\left( {y + 3} \right)}^2} + 2}}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {3x + 1} \right| + \left| {3x - 5} \right| = 6\\\dfrac{{12}}{{{{\left( {y + 3} \right)}^2} + 2}} = 6\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {3x + 1} \right)\left( {5 - 3x} \right) \ge 0\left( 1 \right)\\{\left( {y + 3} \right)^2} = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

* Xét \(\left( 1 \right)\)

+ TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 1 \ge 0\\5 - 3x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - \dfrac{1}{3}\\x \le \dfrac{5}{3}\end{array} \right. \Rightarrow - \dfrac{1}{3} \le x \le \dfrac{5}{3} \Rightarrow x \in \left\{ {0;1} \right\}\)

+ TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 1 \le 0\\5 - 3x \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le - \dfrac{1}{3}\\x \ge \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\) (Vô lí)

* Xét \(\left( 2 \right) \Rightarrow y + 3 = 0 \Rightarrow y = - 3\)

Vậy \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {0; - 3} \right),\left( {1; - 3} \right)} \right\}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link