Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\). Gọi \(H\) là trực tâm

Câu hỏi số 623226:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\). Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC,M\) là điểm bất kì trên cung nhỏ \(BC\). Gọi \(I,J\) lần lượt là hình chiếu của \(M\) lên các đường thẳng \(BC,CA\). Đường thẳng \(IJ\) cắt đường thẳng \(AB\) tại \(K\).

a) Chứng minh bốn điểm \(B,K,M,I\) cùng thuộc một đường tròn. Từ đó suy ra \(MK \bot AB\).

b) Gọi \({M_1},{M_2},{M_3}\) lần lượt là các điểm đối xứng của \(M\) qua các đường thẳng \(BC,CA,AB\). Chứng minh bốn điểm \({M_1},{M_2},{M_3}\) và \(H\) thẳng hàng.

c) Chứng minh khi điểm \(M\) di động trên cung nhỏ \(BC\) ta luôn có \({M_2}{M_3} \le 4R.{\rm{sin}}\widehat {BAC}\). Xác định vị trí của điểm \(M\) khi dấu bằng xảy ra.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623226

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp, chứng minh ba điểm thẳng hàng dựa vào tổng các góc bằng \({180^0}\).

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\widehat {MIC} = \widehat {MJC} = {90^ \circ }\left( {gt} \right)\) nên tứ giác \(IJCM\) nội tiếp

Do đó: \(\widehat {KIM} = \widehat {JCM}\) ( trong bằng ngoài đinh đối)

Tứ giác \(ABMC\) nội tiếp nên \(\widehat {KBM} = \widehat {ACM} = \widehat {JCM}\)

Từ đó suy ra \(\widehat {KIM} = \widehat {KBM} \Rightarrow BIMK\) nội tiếp.

Vậy bốn điểm \(B,K,M,I\) cùng thuộc một đường tròn.

Do \(\widehat {BIM} = {90^ \circ } \Rightarrow \widehat {BKM} = {90^ \circ } \Rightarrow MK \bot AB\) (đpcm)

b) Ta có \(IJ//{M_1}{M_2},JK//{M_2}{M_3}\).

và theo giả thiết có \(I,J,K\) thẳng hàng nên ta có các điềm \({M_1},{M_2},{M_3}\) thẳng hàng.

ta có \(\widehat {A{M_3}B} + \widehat {AHB} = \widehat {AMB} + \left( {{{180}^ \circ } - \widehat {ACB}} \right)\)

mà ta có: \(\widehat {AMB} = \widehat {ACB}\), nên \(\widehat {A{M_3}B} + \widehat {AHB} = {180^ \circ }\) nên nên tứ giác \(AHB{M_3}\) nội tiếp

từ đó ta có \({\widehat {AHM}_3} = \widehat {AB{M_3}} = \widehat {ABM}\)

hoàn toàn tương tự ta có: \({\rm{AHC}}{{\rm{M}}_2}\) nội tiếp

từ đó ta có \(\widehat {AH{M_2}} = \widehat {AC{M_2}} = \widehat {ACM}\)

Mà ta có: \(\widehat {ACM} + \widehat {ABM} = {180^ \circ }\), vì \(ABMC\) nội tiếp

Suy ra \(\widehat {AH{M_3}} + \widehat {AH{M_2}} = {180^ \circ }\)

Từ đó suy ra \({M_3},H,{M_2}\) thẳng hàng

c) Vì \({M_2},{M_3}\) lần lượt là các điềm đối xứng của \(M\) qua \(AC,AB\) nên ta có \(AM = A{M_2} = A{M_3}\) hay tam giác \(A{M_2}{M_3}\) cân tại \(A\).

Kè đường cao \(AD\) của tam giác \(A{M_2}{M_3}\) suy ra \(AD\) cũng là phân giác của \(\widehat {{M_2}A{M_3}}\).

Mặt khác ta có \(\widehat {{M_2}A{M_3}} = \widehat {{M_3}AM} + \widehat {MA{M_2}} = 2\widehat {MAB} + 2\widehat {MAC} = 2\widehat {BAC}\) suy ra \(\widehat {{M_3}AD} = \widehat {BAC}\)

Trong tam giác vuông \({M_3}AD\) có \({M_3}D = A{M_3}{\rm{.sin}}\widehat {{M_3}AD} = AM.{\rm{sin}}\widehat {BAC}\).

Mà \({M_2}{M_3} = 2{M_3}D \Rightarrow {M_2}{M_3} = 2AM \cdot {\rm{sin}}\widehat {BAC}\)

Vậy \({M_2}{M_3} \le 4R.{\rm{sin}}\widehat {BAC}\)

Vì \({\rm{sin}}\widehat {BAC}\) cố định nên \({M_2}{M_3}\) lớn nhất khi \(AM\) lớn nhất tức là \(AM\) là đường kính.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link