a) Tìm \(m\) để phương trình: \(3{x^2} + 4\left( {m - 1} \right)x - {m^2} - 4m - 5 = 0\) (\(x\) là ẩn

Câu hỏi số 623668:

Vận dụng

a) Tìm \(m\) để phương trình: \(3{x^2} + 4\left( {m - 1} \right)x - {m^2} - 4m - 5 = 0\) (\(x\) là ẩn số\()\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) sao cho biểu thức \(P = \dfrac{{x_1^3}}{{x_2^3}} + \dfrac{{x_2^3}}{{x_1^3}}\) đạt giá trị lớn nhất.

b) Giải phương trình \(\left( {{x^2} + 6} \right)\sqrt {{x^2} + 6x + 12} - \left( {3{x^2} + 10x + 28} \right)\sqrt {x + 1} = 0\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623668

Phương pháp giải

a) Áp dụng hệ thức viet tính P và tìm GTLN

b) Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = {x^2} + 6,}&{a > 0}\\{b = \sqrt {x + 1} ,}&{b \ge 0}\end{array}} \right.\)

Giải chi tiết

a) Ta có: \(ac = - 3{m^2} - 12m - 15 = - 3{(m + 2)^2} - 3 < 0,\forall m\) nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

Theo hệ thức vi-ét, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \dfrac{{4 - 4m}}{3}}\\{{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{{ - {m^2} - 4m - 5}}{3}}\end{array}} \right.\)

Đặt \(t = - {\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^3}(t > 0)\)

Lúc đó: \(P = - t - \dfrac{1}{t} = - \left( {t + \dfrac{1}{t}} \right) \le - 2\)

\(P\) đạt giá trị lớn nhất là -2 khi \(t = \dfrac{1}{t} \Rightarrow t = 1 \Rightarrow {x_1} = - {x_2} \Rightarrow m = 1\).

b) \(\left( {{x^2} + 6} \right)\sqrt {{x^2} + 6x + 12} - \left( {3{x^2} + 10x + 28} \right)\sqrt {x + 1} = 0\)

Điều kiện : \(x \ge - 1\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {{x^2} + 6} \right)\sqrt {{x^2} + 6x + 12} - \left( {3{x^2} + 10x + 28} \right)\sqrt {x + 1} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 6} \right)\sqrt {\left( {x + 6} \right) + 6\left( {x + 1} \right)} - \left[ {3\left( {{x^2} + 6} \right) + 10\left( {x + 1} \right)} \right]\sqrt {x + 1} = 0\end{array}\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = {x^2} + 6,}&{a > 0}\\{b = \sqrt {x + 1} ,}&{b \ge 0}\end{array}} \right.\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành:

\( \Leftrightarrow {a^2}\left( {a + 6{b^2}} \right) = {\left( {3a + 10{b^2}} \right)^2}{b^2} \Leftrightarrow {a^2}\left( {a + 6{b^2}} \right) - {\left( {3a + 10{b^2}} \right)^2}{b^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow {a^3} - 3{a^2}{b^2} - 60a{b^4} - 100{b^6} = 0 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{a}{{{b^2}}}} \right)^3} - 3{\left( {\dfrac{a}{{{b^2}}}} \right)^2} - 60\dfrac{a}{{{b^2}}} - 100 = 0\)

Giải phương trình ta được \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{a}{{{b^2}}} = 10}\\{\dfrac{a}{{{b^2}}} = - 2\left( l \right)}\\{\dfrac{a}{{{b^2}}} = - 5\left( l \right)}\end{array}} \right.\)

Suy ra \(a = 10{b^2} \Rightarrow {x^2} + 6 = 10\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 10x - 4 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + \sqrt {29} }\\{x = 5 - \sqrt {29} }\end{array}\left( {TM} \right)} \right.\)

Vậy \(x = 5 + \sqrt {29} ;x = 5 - \sqrt {29} \)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link