Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và dây \(BC\) cố định không đi qua \(O\). Điểm \(A\) thay đổi

Câu hỏi số 623669:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và dây \(BC\) cố định không đi qua \(O\). Điểm \(A\) thay đổi trên cung lớn \(BC\) sao cho tam giác \(ABC\) là tam giác nhọn \((AB < AC)\). Gọi là các đường cao và \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\). Gọi \(K\) là giao điểm của hai đường thẳng \(BC\) và \(EF\); \(I\) là giao điểm thứ hai của \(KA\) với \(\left( O \right);M\) là trung điểm \(BC;N\) là giao điểm thứ hai của \(AH\) và \(\left( O \right)\). Chứng minh:

a) Tứ giác \(AIFE\) là tứ giác nội tiếp.

b) \({\rm{Ba}}\) điểm \(M,H,I\) thẳng hàng.

c) Tứ giác INMO là tứ giác nội tiếp.

d) Đường thẳng \(IN\) luôn đi qua một điểm cố định khi \(A\) thay đổi.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623669

Phương pháp giải

Dùng tính chất của các góc nội tiếp, tính chất của tứ giác nội tiếp,..

Giải chi tiết

a) Vì tứ giác \(AIBC\) nội tiếp đường tròn nên \(KI.KA = KB \cdot KC\)

Dễ thấy tứ giác \(BEFC\) nội tiếp nên \(KF \cdot KE = KB.KC\)

Suy ra \(KI.KA = KF \cdot KE\)

Vậy tứ giác \(AIFE\) nội tiếp.

b) Kẻ đường kính \(AT\) của đường tròn \(\left( O \right)\). Khi đó, \(\angle {AIT} = {90^ \circ }\)

Xét tứ giác \(BHCT\), ta có: \(CC\parallel BT\) (cùng \( \bot AB\) ); \(CC\parallel BT\) (cùng \( \bot AC\) )

Nên tứ giác \(BHCT\) là hình bình hành

Suy ra \(M\) là trung điểm \(HT\) của hay \(M,H,T\) thẳng hàng.

Tứ giác \(AFHE\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(AH\).

Ta có tứ giác \(AIFE\) nội tiếp nên \(I\) thuộc đường tròn đường kính \({\rm{AH}}\)

hay \(\angle {AIH} = {90^ \circ }\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(I,H,T\) thẳng hàng

Vậy \(M,I,H\) thẳng hàng.

c) Ta có \(\angle {NIT} = \dfrac{1}{2}\angle {NOT}\)

Ta có \(\angle {ANT} = {90^ \circ } \Rightarrow NT \bot AN;BC \bot AN\) nên \(NT//BC\)

Mà \(OM \bot BC\) nên \(OM \bot NT\)

Xét \(\Delta NOT\) có \(ON = OT\) và \(OM \bot NT\) nên \(OM\) là tia phân giác góc \(\angle {NOT}\) Suy ra \(\angle {NOM} = \dfrac{1}{2}\angle {NOT}\)

Từ (3) và (4) suy ra \(\angle {NIM} = \angle {NOM}\)

d) Gọi \(S\) là giao điểm của tiếp tuyến đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(B\) và \(OM\). Suy ra \(S\) cố định.

Ta cần chứng minh \(I,N,S\) thẳng hàng

Gọi \(L\) là giao điểm của \(IS\) và đường tròn \(\left( O \right)\)

Vì \(\Delta OBS\) vuông nên \(S{B^2} = SM.SO = SL.SI\)

Suy ra tứ giác \(OMLI\) nội tiếp

Ta có tứ giác \(OMLI\) và \(OMNI\) cùng nội tiếp đường tròn ngoại tiếp và cắt \(\left( O \right)\) tại giao điểm thứ hai là \(L\) và \(N\) nên \(N\) và \(L\) trùng nhau.

Vậy \(I,N,S\) thẳng hàng hay \(IN\) đi qua \(S\) cố định.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link