a) Tìm tất cả số nguyên \(x,y\) thỏa mãn \({x^3} - {x^2}\left( {y + 1} \right) + x\left( {7 + y} \right)

Câu hỏi số 623670:

Vận dụng cao

a) Tìm tất cả số nguyên \(x,y\) thỏa mãn \({x^3} - {x^2}\left( {y + 1} \right) + x\left( {7 + y} \right) - 4 - y = 0\).

b) Cho \(x,y,z\) là các số thực dương thỏa mãn \(xy + yz + zx = 3\). Chứng minh rằng

\(\dfrac{x}{{{x^2} + 15}} + \dfrac{y}{{{y^2} + 15}} + \dfrac{z}{{{z^2} + 15}} \le \dfrac{{3 + x + y + z}}{{32}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623670

Phương pháp giải

a) Đưa phương tình về dạng \(\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {x - y + 2} \right) = 2\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\) và biện luận theo x

b) Dùng các bất đẳng thức phụ \(\dfrac{1}{{a + b}} \le \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)\), \(\dfrac{1}{{\sqrt {ab} }} \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)\)

Giải chi tiết

a) Ta có: \({x^3} - {x^2}\left( {y + 1} \right) + x\left( {7 + y} \right) - 4 - y = 0\).

\( \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} + 7x - 4 - y\left( {{x^2} - x + 1} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {x - y} \right) + 2\left( {{x^2} - x + 1} \right) = 2\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {x - y + 2} \right) = 2\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x - y = \dfrac{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{{x^2} - x + 1}} - 2\\ \Leftrightarrow x - y = \dfrac{{ - 6x + 4}}{{{x^2} - x + 1}}\end{array}\)

Do \(x,y \in \mathbb{Z} \Rightarrow x - y \in \mathbb{Z} \Rightarrow \dfrac{{ - 6x + 4}}{{{x^2} - x + 1}} = m \in \mathbb{Z}\)

\( \Leftrightarrow - 6x + 4 = m\left( {{x^2} - x + 1} \right)\) có nghiệm m

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow m{x^2} - \left( {m - 6} \right)x + m - 4 = 0 & & \left( * \right)\\ \Rightarrow \Delta = {\left( {m - 6} \right)^2} - 4m\left( {m - 4} \right) = - 3{m^2} + 4m + 36 > 0\\ \Rightarrow \dfrac{{2 - 4\sqrt 7 }}{3} \le m \le \dfrac{{2 + 4\sqrt 7 }}{3}\end{array}\)

Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 2, - 1,0,1,2,3,4} \right\}\)

Với \(m = - 2\) thay (*) ta được \(\left[ \begin{array}{l}x = 3 \Rightarrow y = 5\\x = 1 \Rightarrow y = 3\end{array} \right.\)

Với \(m = - 1,0,1,2,3\) thì phương trình có nghiệm nhưng không phải số nguyên nên không thỏa mãn

Với \(m = 4\) thay (*) ta được \(\left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = - 4\\x = - \dfrac{1}{2}\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\)

Vậy các cặp nghiệm thỏa mãn là \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {0; - 4} \right);\left( {1;3} \right);\left( {3;5} \right)} \right\}\).

b) Ta có:

\(\dfrac{x}{{{x^2} + 15}} = \dfrac{x}{{{x^2} + 3 + 12}} = \dfrac{x}{{{x^2} + xy + yz + zx + 12}} \)

\(= \dfrac{x}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right) + 12}} \le \dfrac{x}{{4\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} + 8}}\)

\( \le x\left[ {\dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{{4\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} }} + \dfrac{1}{8}} \right)} \right]\) (Theo bất đẳng thức \(\dfrac{1}{{a + b}} \le \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)\))

\( \le \dfrac{x}{{16}}\left[ {\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{z}} \right) + \dfrac{1}{2}} \right]{\rm{\;}}\) (Theo bất đẳng thức \(\dfrac{1}{{\sqrt {ab} }}\le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)\) )

\( \le \dfrac{x}{{32\left( {x + y} \right)}} + \dfrac{x}{{32\left( {y + z} \right)}} + \dfrac{x}{{32}}\).

Tương tự \(\dfrac{y}{{{y^2} + 15}} \le \dfrac{y}{{32\left( {y + z} \right)}} + \dfrac{y}{{32\left( {z + x} \right)}} + \dfrac{y}{{32}}\)

\(\dfrac{z}{{{z^2} + 15}} \le \dfrac{z}{{32\left( {z + x} \right)}} + \dfrac{x}{{32\left( {x + y} \right)}} + \dfrac{z}{{32}}\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}\dfrac{x}{{{x^2} + 15}} + \dfrac{y}{{{y^2} + 15}} + \dfrac{z}{{{z^2} + 15}}\\ \le \dfrac{x}{{32\left( {x + y} \right)}} + \dfrac{x}{{32\left( {y + z} \right)}} + \dfrac{x}{{32}} + \dfrac{y}{{32\left( {y + z} \right)}} + \dfrac{y}{{32\left( {z + x} \right)}} + \dfrac{y}{{32}} + \dfrac{z}{{32\left( {z + x} \right)}} + \dfrac{x}{{32\left( {x + y} \right)}} + \dfrac{z}{{32}}\\ \le \dfrac{{3 + x + y + z}}{{32}}\end{array}\)

Vậy: \(\dfrac{x}{{{x^2} + 15}} + \dfrac{y}{{{y^2} + 15}} + \dfrac{z}{{{z^2} + 15}} \le \dfrac{{3 + x + y + z}}{{32}}\).

Dấu "= "xảy ra khi \(x = y = z = 1\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link