a) Tìm tất cả số nguyên \(x,y\) thỏa mãn \({x^3} - {x^2}\left( {y + 1} \right) + x\left( {7 + y} \right)

Câu hỏi số 623670:

Vận dụng cao

a) Tìm tất cả số nguyên \(x,y\) thỏa mãn \({x^3} - {x^2}\left( {y + 1} \right) + x\left( {7 + y} \right) - 4 - y = 0\).

b) Cho \(x,y,z\) là các số thực dương thỏa mãn \(xy + yz + zx = 3\). Chứng minh rằng

\(\dfrac{x}{{{x^2} + 15}} + \dfrac{y}{{{y^2} + 15}} + \dfrac{z}{{{z^2} + 15}} \le \dfrac{{3 + x + y + z}}{{32}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623670

Phương pháp giải

a) Đưa phương tình về dạng \(\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {x - y + 2} \right) = 2\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\) và biện luận theo x

b) Dùng các bất đẳng thức phụ \(\dfrac{1}{{a + b}} \le \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)\), \(\dfrac{1}{{\sqrt {ab} }} \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)\)

Giải chi tiết

a) Ta có: \({x^3} - {x^2}\left( {y + 1} \right) + x\left( {7 + y} \right) - 4 - y = 0\).

\( \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} + 7x - 4 - y\left( {{x^2} - x + 1} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {x - y} \right) + 2\left( {{x^2} - x + 1} \right) = 2\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {x - y + 2} \right) = 2\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x - y = \dfrac{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{{x^2} - x + 1}} - 2\\ \Leftrightarrow x - y = \dfrac{{ - 6x + 4}}{{{x^2} - x + 1}}\end{array}\)

Do \(x,y \in \mathbb{Z} \Rightarrow x - y \in \mathbb{Z} \Rightarrow \dfrac{{ - 6x + 4}}{{{x^2} - x + 1}} = m \in \mathbb{Z}\)

\( \Leftrightarrow - 6x + 4 = m\left( {{x^2} - x + 1} \right)\) có nghiệm m

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow m{x^2} - \left( {m - 6} \right)x + m - 4 = 0 & & \left( * \right)\\ \Rightarrow \Delta = {\left( {m - 6} \right)^2} - 4m\left( {m - 4} \right) = - 3{m^2} + 4m + 36 > 0\\ \Rightarrow \dfrac{{2 - 4\sqrt 7 }}{3} \le m \le \dfrac{{2 + 4\sqrt 7 }}{3}\end{array}\)

Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 2, - 1,0,1,2,3,4} \right\}\)

Với \(m = - 2\) thay (*) ta được \(\left[ \begin{array}{l}x = 3 \Rightarrow y = 5\\x = 1 \Rightarrow y = 3\end{array} \right.\)

Với \(m = - 1,0,1,2,3\) thì phương trình có nghiệm nhưng không phải số nguyên nên không thỏa mãn

Với \(m = 4\) thay (*) ta được \(\left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = - 4\\x = - \dfrac{1}{2}\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\)

Vậy các cặp nghiệm thỏa mãn là \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {0; - 4} \right);\left( {1;3} \right);\left( {3;5} \right)} \right\}\).

b) Ta có:

\(\dfrac{x}{{{x^2} + 15}} = \dfrac{x}{{{x^2} + 3 + 12}} = \dfrac{x}{{{x^2} + xy + yz + zx + 12}} \)

\(= \dfrac{x}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right) + 12}} \le \dfrac{x}{{4\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} + 8}}\)

\( \le x\left[ {\dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{{4\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} }} + \dfrac{1}{8}} \right)} \right]\) (Theo bất đẳng thức \(\dfrac{1}{{a + b}} \le \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)\))

\( \le \dfrac{x}{{16}}\left[ {\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{z}} \right) + \dfrac{1}{2}} \right]{\rm{\;}}\) (Theo bất đẳng thức \(\dfrac{1}{{\sqrt {ab} }}\le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)\) )

\( \le \dfrac{x}{{32\left( {x + y} \right)}} + \dfrac{x}{{32\left( {y + z} \right)}} + \dfrac{x}{{32}}\).

Tương tự \(\dfrac{y}{{{y^2} + 15}} \le \dfrac{y}{{32\left( {y + z} \right)}} + \dfrac{y}{{32\left( {z + x} \right)}} + \dfrac{y}{{32}}\)

\(\dfrac{z}{{{z^2} + 15}} \le \dfrac{z}{{32\left( {z + x} \right)}} + \dfrac{x}{{32\left( {x + y} \right)}} + \dfrac{z}{{32}}\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}\dfrac{x}{{{x^2} + 15}} + \dfrac{y}{{{y^2} + 15}} + \dfrac{z}{{{z^2} + 15}}\\ \le \dfrac{x}{{32\left( {x + y} \right)}} + \dfrac{x}{{32\left( {y + z} \right)}} + \dfrac{x}{{32}} + \dfrac{y}{{32\left( {y + z} \right)}} + \dfrac{y}{{32\left( {z + x} \right)}} + \dfrac{y}{{32}} + \dfrac{z}{{32\left( {z + x} \right)}} + \dfrac{x}{{32\left( {x + y} \right)}} + \dfrac{z}{{32}}\\ \le \dfrac{{3 + x + y + z}}{{32}}\end{array}\)

Vậy: \(\dfrac{x}{{{x^2} + 15}} + \dfrac{y}{{{y^2} + 15}} + \dfrac{z}{{{z^2} + 15}} \le \dfrac{{3 + x + y + z}}{{32}}\).

Dấu "= "xảy ra khi \(x = y = z = 1\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link