a) Tìm giá trị của tham số \(k\) để đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = - x + 2\) cắt

Câu hỏi số 624202:

Vận dụng

a) Tìm giá trị của tham số \(k\) để đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = - x + 2\) cắt đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):y = 2x + 3 - k\) tại một điểm nằm trên trục hoành.

b) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng

\(\left( d \right):y = 2mx - m + 1\) (Với \({\rm{m}}\) là tham số). Tìm tất cả các giá trị của \({\rm{m}}\) để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn: \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| > \sqrt 3 \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:624202

Giải chi tiết

a) Giả sử \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) là giao điểm của đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = - x + 2\) và \(\left( {{d_2}} \right):y = 2x + 3 - k\)

Do: \(A\) nằm trên trục hoành và \(A \in {d_1} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_A} = 0}\\{{y_A} = - {x_A} + 2}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_A} = 0}\\{0 = - {x_A} + 2}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_A} = 0}\\{{x_A} = 2}\end{array} \Rightarrow A\left( {2;0} \right)} \right.} \right.\)

Mà: \(A \in {d_2} \Rightarrow 0 = 2.2 + 3 - k \Rightarrow k = 7\)

Vậy \(k = 7\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) :

\(\begin{array}{l}{x^2} = 2mx - m + 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + m - 1 = 0\left( {a = 1;b = - 2m;c = m - 1} \right)\end{array}\)

Ta có: \({\rm{\Delta '}} = {b^{{\rm{'}}2}} - ac = {( - m)^2} - 1.\left( {m - 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} = {m^2} - m + 1\\ = {m^2} - 2 \cdot m \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}\\ = {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0\forall m\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( P \right)\) luôn cắt \(\left( d \right)\) tại hai điểm phân biệt với \(\forall m\)

Theo Vi-Et ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2m}\\{{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = m - 1}\end{array}} \right.\)

Mà: \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| > \sqrt 3 \Leftrightarrow {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} > {(\sqrt 3 )^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} > 3\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} > 3\left( {\rm{*}} \right)\end{array}\)

Thay vào \(\left( {\rm{*}} \right)\) ta được:

\(\begin{array}{l}{(2m)^2} - 4\left( {m - 1} \right) > 3\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m + 1 > 0\\ \Leftrightarrow {(2m - 1)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Vậy \(m \ne \dfrac{1}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link