Cho \(\Delta ABC\) có ba góc nhọn \((AB > AC)\) nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Đường
Cho \(\Delta ABC\) có ba góc nhọn \((AB > AC)\) nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Đường cao \(AH\) của \(\Delta ABC\) cắt đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) tại điểm thứ hai là \(D\). Kẻ \(DM \bot AB\) tại \(M\).
a) Chứng minh tứ giác \(BMHD\) nội tiếp được đường tròn và \(DA\) là tia phân giác của \(\angle {MDC}\).
b) Từ \(D\) kẻ \(DN \bot AC\) tại \(N\). Chứng minh ba điểm \(M,H,N\) thẳng hàng.
c) Cho \(P = A{B^2} + A{C^2} + B{D^2} + C{D^2}\). Tính giá trị biểu thức \(P\) theo \(R\).
Quảng cáo
a) Ta có: \(\angle {DHB} = \angle {DMB} = {90^ \circ } \Rightarrow DHMB\) nội tiếp
\( \Rightarrow \angle {{D_2}} = \angle {{B_2}} = \dfrac{1}{2}\angle {HM}\)
Mà: \( \Rightarrow \angle {{D_1}} = \angle {{B_2}} = \dfrac{1}{2}sd\,AC\)
\( \Rightarrow \angle {{D_1}} = \angle {{D_2}}\left( { = \angle {{B_2}}} \right) \Rightarrow {\rm{dpcm}}\)
b) Ta có: \(ABDC\) nội tiếp \(\angle {{C_1}} = \angle {ABD}\) (góc ngoài tứ giác nội tiếp) \( \Rightarrow {\rm{\Delta }}NCD \sim \Delta MBD\left( {g.g} \right) \Rightarrow \angle {{D_4}} = \angle {{D_3}}\) (hai góc tương ứng)
Mà: NCHD nội tiếp (Vì: \(\hat N = \hat H = {90^ \circ }\) )
\( \Rightarrow \angle {{D_4}} = \angle {{H_1}}\)
Mặt khác: \(\angle {{D_3}} = \angle {{H_2}} = \dfrac{1}{2}sd\,MB \Rightarrow \angle {{H_1}} = \angle {{H_2}}\)
Do: \({\rm{C}},{\rm{H}},{\rm{B}}\) thẳng hàng nên ta có đpcm.
c) Kẻ đường kính AE
Ta có \(AEB = ACB \Rightarrow BAE = DAC \Rightarrow \) cung \({\rm{BE}} = \) cung \({\rm{CD}} \Rightarrow {\rm{BE}} = {\rm{CD}}\)
Turong tư \({\rm{EC}} = {\rm{BD}}\)
Áp dụng định lí Pi ta go ta có:
\(\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} + C{D^2} + B{D^2}\\ = A{B^2} + B{E^2} + A{C^2} + C{E^2}\\ = A{E^2} + A{E^2} = 4{R^2} + 4{R^2} = 8{R^2}\end{array}\)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
