a) Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn: \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt

Câu hỏi số 624204:

Vận dụng cao

a) Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn: \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 2\). Tính giá trị biểu thức \(Q = x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} \).

b) Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn: \(4{x^2} + 4{y^2} + 17xy + 5x + 5y \ge 1\). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 17{x^2} + 17{y^2} + 16xy\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:624204

Giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 2\\ \Leftrightarrow xy + y\sqrt {{x^2} + 1} + x\sqrt {{y^2} + 1} + \sqrt {{x^2} + 1} \sqrt {{y^2} + 1} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Ta lại có \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {x - \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right)\left( {y - \sqrt {{y^2} + 1} } \right)}}{{\left( {x - \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y - \sqrt {{y^2} + 1} } \right)}} = 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\left( {x - \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y - \sqrt {{y^2} + 1} } \right)}} = 2\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y - \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow xy - y\sqrt {{x^2} + 1} - x\sqrt {{y^2} + 1} + \sqrt {{x^2} + 1} \sqrt {{y^2} + 1} = \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\\left( 1 \right) - \left( 2 \right) \Rightarrow \,2\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x\sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 2 - \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow 2Q = \dfrac{3}{2} \Rightarrow Q = \dfrac{3}{4}\end{array}\)

b) Đặt \(a = x + y \Rightarrow a > 0\).

Sử dụng bđt AM-GM, ta có: \(xy \le \dfrac{{{{(x + y)}^2}}}{4} = \dfrac{{{a^2}}}{4}\)

\(\begin{array}{l}4{x^2} + 4{y^2} + 17xy + 5x + 5y\\ = 4{x^2} + 8xy + 4{y^2} + 9xy + 5\left( {x + y} \right)\\ = 4{\left( {x + y} \right)^2} + 5\left( {x + y} \right) + 9xy\\ \le 4{\left( {x + y} \right)^2} + 5\left( {x + y} \right) + 9.\dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\\ = 4{a^2} + 5a + \dfrac{9}{4}{a^2} = \dfrac{{25}}{4}{a^2} + 5a\end{array}\)

Do \(4{x^2} + 4{y^2} + 17xy + 5x + 5y \ge 1 \Rightarrow \dfrac{{25}}{4}{a^2} + 5a \ge 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 25{a^2} + 20a + 4 \ge 8\\ \Leftrightarrow {\left( {5a + 2} \right)^2} \ge 8\\ \Rightarrow a \ge \dfrac{{2\sqrt 2 - 2}}{5}\end{array}\)

Suy ra \(P = 17{x^2} + 17{y^2} + 16xy = 17\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) - 18xy\)

\( \ge 17{a^2} - \dfrac{9}{2}{a^2} = \dfrac{{25}}{2}{a^2} \ge \dfrac{{25}}{2}.\dfrac{{2\sqrt 2 - 2}}{5} = 6 - 4\sqrt 2 \)

Dấu bằng có khi \(x = y = \dfrac{{\sqrt 2 - 1}}{5}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link