a) Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn: \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt

Câu hỏi số 624204:

Vận dụng cao

a) Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn: \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 2\). Tính giá trị biểu thức \(Q = x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} \).

b) Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn: \(4{x^2} + 4{y^2} + 17xy + 5x + 5y \ge 1\). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 17{x^2} + 17{y^2} + 16xy\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:624204

Giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 2\\ \Leftrightarrow xy + y\sqrt {{x^2} + 1} + x\sqrt {{y^2} + 1} + \sqrt {{x^2} + 1} \sqrt {{y^2} + 1} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Ta lại có \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {x - \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right)\left( {y - \sqrt {{y^2} + 1} } \right)}}{{\left( {x - \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y - \sqrt {{y^2} + 1} } \right)}} = 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\left( {x - \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y - \sqrt {{y^2} + 1} } \right)}} = 2\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y - \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow xy - y\sqrt {{x^2} + 1} - x\sqrt {{y^2} + 1} + \sqrt {{x^2} + 1} \sqrt {{y^2} + 1} = \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\\left( 1 \right) - \left( 2 \right) \Rightarrow \,2\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x\sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 2 - \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow 2Q = \dfrac{3}{2} \Rightarrow Q = \dfrac{3}{4}\end{array}\)

b) Đặt \(a = x + y \Rightarrow a > 0\).

Sử dụng bđt AM-GM, ta có: \(xy \le \dfrac{{{{(x + y)}^2}}}{4} = \dfrac{{{a^2}}}{4}\)

\(\begin{array}{l}4{x^2} + 4{y^2} + 17xy + 5x + 5y\\ = 4{x^2} + 8xy + 4{y^2} + 9xy + 5\left( {x + y} \right)\\ = 4{\left( {x + y} \right)^2} + 5\left( {x + y} \right) + 9xy\\ \le 4{\left( {x + y} \right)^2} + 5\left( {x + y} \right) + 9.\dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\\ = 4{a^2} + 5a + \dfrac{9}{4}{a^2} = \dfrac{{25}}{4}{a^2} + 5a\end{array}\)

Do \(4{x^2} + 4{y^2} + 17xy + 5x + 5y \ge 1 \Rightarrow \dfrac{{25}}{4}{a^2} + 5a \ge 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 25{a^2} + 20a + 4 \ge 8\\ \Leftrightarrow {\left( {5a + 2} \right)^2} \ge 8\\ \Rightarrow a \ge \dfrac{{2\sqrt 2 - 2}}{5}\end{array}\)

Suy ra \(P = 17{x^2} + 17{y^2} + 16xy = 17\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) - 18xy\)

\( \ge 17{a^2} - \dfrac{9}{2}{a^2} = \dfrac{{25}}{2}{a^2} \ge \dfrac{{25}}{2}.\dfrac{{2\sqrt 2 - 2}}{5} = 6 - 4\sqrt 2 \)

Dấu bằng có khi \(x = y = \dfrac{{\sqrt 2 - 1}}{5}\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link