Biết \(I = \int\limits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} {\dfrac{{x + x\cos x - {{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}}{\rm{d}}x} =

Câu hỏi số 624312:

Vận dụng

Biết \(I = \int\limits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} {\dfrac{{x + x\cos x - {{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}}{\rm{d}}x} = \dfrac{{{{\rm{\pi }}^2}}}{a} - \dfrac{b}{c}\). Trong đó \(a\), \(b\), \(z + {\left| z \right|^2}.i - 1 - \dfrac{3}{4}i = 0\) là các số nguyên dương, phân số \(\dfrac{b}{c}\) tối giản. Tính \(T = {a^2} + {b^2} + {c^2}\).

A. \(T = 50\).

B. \(T = 59\).

C. \(T = 16\).

D. \(T = 69\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:624312

Phương pháp giải

\(I = \int\limits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} {\dfrac{{x + x\cos x - {{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}}{\rm{d}}x} = \int\limits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} {\left( {x - \dfrac{{{{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}}} \right){\rm{d}}x} \).

Đổi biến, đặt \(t = \cos x\).

Giải chi tiết

Ta có: \(I = \int\limits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} {\dfrac{{x + x\cos x - {{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}}{\rm{d}}x} = \int\limits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} {x{\rm{d}}x} - \int\limits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} {\dfrac{{{{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}}{\rm{d}}x} \).

\({I_1} = \int\limits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} {x{\rm{d}}x} = \left. {\dfrac{1}{2}{x^2}} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \dfrac{1}{8}{\pi ^2}\).

\({I_2} = \int\limits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} {\dfrac{{{{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}}{\rm{d}}x} = \int\limits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} {\dfrac{{1 - {{\cos }^2}x}}{{1 + \cos x}}{\rm{sin}}x{\rm{d}}x} = \int\limits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} {\left( {1 - \cos x} \right){\rm{sin}}x{\rm{d}}x} \).

Đặt \(t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx\).

\({I_2} = - \int\limits_1^0 {\left( {1 - t} \right)dt} = \left. {\left( {t - \dfrac{1}{2}{t^2}} \right)} \right|_0^1 = \dfrac{1}{2}\).

\(I = {I_1} - {I_2} = \dfrac{1}{8}{\pi ^2} - \dfrac{1}{2} \Rightarrow a = 8,b = 1,c = 2 \Rightarrow \)\(T = 69\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.