Gọi S là tập các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = {x^2} + \ln \left( {x + m + 2}

Câu hỏi số 624311:

Vận dụng

Gọi S là tập các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = {x^2} + \ln \left( {x + m + 2} \right)\) đồng biến trên tập xác định của nó. Biết \(S = \left( { - \infty ;a + \sqrt b } \right]\). Tính tổng K = a + b là

A. \(K = 5\).

B. \(K = 2\).

C. \(K = - 5\).

D. \(K = 0\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:624311

Phương pháp giải

Xác định m để \(y' \ge 0,\forall x \in D\) (bằng 0 tại hữu hạn điểm).

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x + m + 2 > 0 \Leftrightarrow x > - m - 2\).

Ta có: \(y = {x^2} + \ln \left( {x + m + 2} \right) \Rightarrow y' = 2x + \dfrac{1}{{x + m + 2}} = \dfrac{{2{x^2} + 2\left( {m + 2} \right)x + 1}}{{x + m + 2}}\).

\(\Delta ' = {\left( {m + 2} \right)^2} - 2 = {m^2} + 4m + 2\).

TH1: \(\Delta ' \le 0 \Leftrightarrow - 2 - \sqrt 2 \le m \le - 2 + \sqrt 2 \)\( \Rightarrow 2{x^2} + 2\left( {m + 2} \right)x + 1 \ge 0,\forall x\)

=> Hàm số đồng biến trên tập xác định.

TH2 : \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > - 2 + \sqrt 2 \\m < - 2 - \sqrt 2 \end{array} \right.\):

Khi đó: \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - m - 2\\{x_1}{x_2} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).

Và hàm số đồng biến trên 2 khoảng \(\left( { - \infty ;{x_1}} \right),\left( {{x_2}; + \infty } \right)\).

Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì \({x_1} < {x_2} < - m - 2\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + m + 2 < 0\\{x_2} + m + 2 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{x_1} + m + 2} \right) + \left( {{x_2} + m + 2} \right) < 0\\\left( {{x_1} + m + 2} \right)\left( {{x_2} + m + 2} \right) > 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2m + 4 < 0\\{x_1}{x_2} + \left( {m + 2} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {\left( {m + 2} \right)^2} > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m - 2 + 2m + 4 < 0\\\dfrac{1}{2} - {\left( {m + 2} \right)^2} + {\left( {m + 2} \right)^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < - 2\end{array}\).

Kết hợp điều kiện \( \Rightarrow m < - 2 - \sqrt 2 \).

Kết hợp 2 trường hợp, ta được: \(S = \left( { - \infty ; - 2 + \sqrt 2 } \right]\).

=> a = -2, b = 2.

Vậy K = a + b = 0.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.