Có bao nhiêu số nguyên \(a\) để tồn tại số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + \overline z } \right| +

Câu hỏi số 624692:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên \(a\) để tồn tại số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + \overline z } \right| + \left| {z - \overline z } \right| = 16\) và \(\left| {iz - 4} \right| = a\)?

A. 10.

B. 5.

C. 9.

D. 6.

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải

Sử dụng hình học Oxy để giải.

Giải chi tiết

Đặt \(z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\). Ta có:

\(\left| {z + \overline z } \right| + \left| {z - \overline z } \right| = 16 \Leftrightarrow \left| {2x} \right| + \left| {2yi} \right| = 16 \Leftrightarrow \left| x \right| + \left| y \right| = 8 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 8\,\,khi\,\,x,y \ge 0\\ - x - y = 8\,\,khi\,\,x,y < 0\\ - x + y = 8\,\,khi\,x < 0,y > 0\\x - y = 8\,\,khi\,x > 0,y < 0\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \) Điểm biểu diễn số phức z nằm trên các cạnh của hình vuông ABCD (như hình vẽ).

(trong đó: \(A\left( {0;8} \right),B\left( {8;0} \right),C\left( {0; - 8} \right),D\left( { - 8;0} \right)\)).

Lại có: \(\left| {iz - 4} \right| = a \Leftrightarrow \left| {ix + {i^2}y - 4} \right| = a,\left( {a \ge 0} \right) \Leftrightarrow \left| { - y - 4 + xi} \right| = a \Leftrightarrow {\left( {y + 4} \right)^2} + {x^2} = {a^2}\).

Nếu \(a = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 4\end{array} \right. \Rightarrow \) Loại (do điểm (0;-4) không nằm trên các cạnh của hình vuông ABCD).

Nếu \(a > 0\) thì điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn tâm \(I\left( {0; - 4} \right),R = a\).

Để tồn tại số phức z thì đường tròn (I;a) và hình vuông ABCD phải có điểm chung.

\( \Rightarrow d\left( {I;{d_3}} \right) \le a \le IA \Leftrightarrow 2\sqrt 2 \le a \le 12\).

Mà a là số nguyên \( \Rightarrow a \in \left\{ {3;4;5;...;12} \right\}\): 10 giá trị.

Xem lời giải

Câu hỏi:624692

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.