Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm \(M(8;2)\). Viết phương trình đường thẳng \(d\) qua \(M\)

Câu hỏi số 628283:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm \(M(8;2)\). Viết phương trình đường thẳng \(d\) qua \(M\) và \(d\) cắt tia Ox, Oy lần lượt tại A(a;0), B(0;b) sao cho tam giác ABO có diện tích nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:628283

Phương pháp giải

Lập phương trình đường thẳng d dạng đoạn chắn đi qua hai điểm A, B.

Thay toạ độ điểm M vào phương trình đường thẳng AB.

Tính diện tích tam giác ABO.

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \). Dấu “=” xảy ra khi a = b.

Giải chi tiết

Ta có phương trình đường thẳng \(d\) có dạng: \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\).

Do \(d\) đi qua \(M(8;2)\) nên ta có \(\dfrac{8}{a} + \dfrac{2}{b} = 1\).

Mặt khác diện tích của tam giác vuông ABO là \({S_{\Delta ABO}} = \dfrac{1}{2}a.b\).

Áp dụng BĐT Cô si ta có:

\(1 = \dfrac{8}{a} + \dfrac{2}{b} \ge 2\sqrt {\dfrac{8}{a} \cdot \dfrac{2}{b}} \Leftrightarrow 1 \ge 2\sqrt {\dfrac{{16}}{{ab}}} \Leftrightarrow 1 \ge 2\dfrac{4}{{\sqrt {ab} }} \Leftrightarrow \sqrt {ab} \ge 8 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}ab \ge 32\)

Ta có diện tích của tam giác vuông ABO nhỏ nhất bằng 32 khi a, b thỏa mãn hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{8}{a} = \dfrac{2}{b}\\\dfrac{8}{a} + \dfrac{2}{b} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4b\\\dfrac{8}{a} + \dfrac{2}{b} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4b\\b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 16\\b = 4\end{array} \right.\)

Vậy \(a + b = 20\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.