Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm \(M(8;2)\). Viết phương trình đường thẳng \(d\) qua \(M\)

Câu hỏi số 628283:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm \(M(8;2)\). Viết phương trình đường thẳng \(d\) qua \(M\) và \(d\) cắt tia Ox, Oy lần lượt tại A(a;0), B(0;b) sao cho tam giác ABO có diện tích nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:628283

Phương pháp giải

Lập phương trình đường thẳng d dạng đoạn chắn đi qua hai điểm A, B.

Thay toạ độ điểm M vào phương trình đường thẳng AB.

Tính diện tích tam giác ABO.

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \). Dấu “=” xảy ra khi a = b.

Giải chi tiết

Ta có phương trình đường thẳng \(d\) có dạng: \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\).

Do \(d\) đi qua \(M(8;2)\) nên ta có \(\dfrac{8}{a} + \dfrac{2}{b} = 1\).

Mặt khác diện tích của tam giác vuông ABO là \({S_{\Delta ABO}} = \dfrac{1}{2}a.b\).

Áp dụng BĐT Cô si ta có:

\(1 = \dfrac{8}{a} + \dfrac{2}{b} \ge 2\sqrt {\dfrac{8}{a} \cdot \dfrac{2}{b}} \Leftrightarrow 1 \ge 2\sqrt {\dfrac{{16}}{{ab}}} \Leftrightarrow 1 \ge 2\dfrac{4}{{\sqrt {ab} }} \Leftrightarrow \sqrt {ab} \ge 8 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}ab \ge 32\)

Ta có diện tích của tam giác vuông ABO nhỏ nhất bằng 32 khi a, b thỏa mãn hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{8}{a} = \dfrac{2}{b}\\\dfrac{8}{a} + \dfrac{2}{b} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4b\\\dfrac{8}{a} + \dfrac{2}{b} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4b\\b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 16\\b = 4\end{array} \right.\)

Vậy \(a + b = 20\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10