Cho đường conic \((S)\) có tâm sai \(e = 2\), một tiêu điểm \(F( - 2;5)\) và đường chuẩn tương

Câu hỏi số 628896:

Vận dụng cao

Cho đường conic \((S)\) có tâm sai \(e = 2\), một tiêu điểm \(F( - 2;5)\) và đường chuẩn tương ứng với tiêu điểm đó là \(\Delta :x + y - 1 = 0\). Chứng minh rằng, điểm \(M(x;y)\) thuộc đường conic \(({\rm{S}})\) khi và chi khi \({x^2} + {y^2} + 4xy - 8x + 6y - 27 = 0\) (được gọi là phương trình của (S), tuy vậy không phải là phương trình chính tắc). Hỏi (S) là đường gì trong ba đường conic?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:628896

Phương pháp giải

Tính chất các đường conic \(\dfrac{{MF}}{{d(M;\Delta )}} = e\)

Giải chi tiết

+) \(M(x;y)\) thuộc đường conic \((S)\) khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\dfrac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {{{(x + 2)}^2} + {{(y - 5)}^2}} }}{{\dfrac{{|x + y - 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }}}} = 2\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{(x + 2)}^2} + {{(y - 5)}^2}} = 2\dfrac{{|x + y - 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }}\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{(x + 2)}^2} + {{(y - 5)}^2}} = 2\dfrac{{|x + y - 1|}}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow {(x + 2)^2} + {(y - 5)^2} = 2{(x + y - 1)^2}\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + \left( {{y^2} - 10y + 25} \right) = 2\left( {{x^2} + {y^2} + 1 + 2xy - 2x - 2y} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 4x - 10y + 29 = 2{x^2} + 2{y^2} + 2 + 4xy - 4x - 4y\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 4xy - 8x + 6y - 27 = 0.\end{array}\)

+) (S) là hypebol vì có tâm sai lớn hơn 1

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.