Cho đường thẳng \(d:x + y - 1 = 0\) và điểm \(F(1;1)\). Viết phương trình đường conic nhận \(F\)

Câu hỏi số 628897:

Vận dụng

Cho đường thẳng \(d:x + y - 1 = 0\) và điểm \(F(1;1)\). Viết phương trình đường conic nhận \(F\) là tiêu điểm, \(d\) là đường chuẩn và có tâm sai e trong mỗi trường hợp sau:

a) \(e = \dfrac{1}{2}\)

b) \(e = 1\).

c) \(e = 2\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:628897

Phương pháp giải

Tính chất các đường conic \(\dfrac{{MF}}{{d(M;\Delta )}} = e\)

Giải chi tiết

a) Gọi \(M(x;y)\) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: \(\dfrac{{MF}}{{d(M;\Delta )}} = e\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {{{(1 - x)}^2} + {{(1 - y)}^2}} }}{{\dfrac{{|x + y - 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }}}} = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{(1 - x)}^2} + {{(1 - y)}^2}} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{|x + y - 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }}\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{(1 - x)}^2} + {{(1 - y)}^2}} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{|x + y - 1|}}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow {(1 - x)^2} + {(1 - y)^2} = \dfrac{{|x + y - 1{|^2}}}{8}\\ \Leftrightarrow \left( {1 - 2x + {x^2}} \right) + \left( {1 - 2y + {y^2}} \right) = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + 1 + 2xy - 2x - 2y}}{8}\\ \Leftrightarrow 8\left( {1 - 2x + {x^2} + 1 - 2y + {y^2}} \right) = {x^2} + {y^2} + 1 + 2xy - 2x - 2y\\ \Leftrightarrow 7{x^2} + 7{y^2} - 2xy - 14x - 14y + 15 = 0.{\rm{ }}\end{array}\)

Vậy phương trình của conic đã cho là \(7{x^2} + 7{y^2} - 2xy - 14x - 14y + 15 = 0\).

b) Giả sử M là 1 điểm bất kì thuộc đường conic. Khi đó \({\rm{ }}\dfrac{{MF}}{{d(M;\Delta )}} = e\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {{{(1 - x)}^2} + {{(1 - y)}^2}} }}{{\dfrac{{|x + y - 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }}}} = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{(1 - x)}^2} + {{(1 - y)}^2}} = \dfrac{{|x + y - 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }}\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{(1 - x)}^2} + {{(1 - y)}^2}} = \dfrac{{|x + y - 1|}}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow {(1 - x)^2} + {(1 - y)^2} = \dfrac{{|x + y - 1{|^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow \left( {1 - 2x + {x^2}} \right) + \left( {1 - 2y + {y^2}} \right) = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + 1 + 2xy - 2x - 2y}}{2}\\ \Leftrightarrow 2\left( {1 - 2x + {x^2} + 1 - 2y + {y^2}} \right) = {x^2} + {y^2} + 1 + 2xy - 2x - 2y\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2xy - 2x - 2y + 1 = 0.\end{array}\)

c) Giả sử M là 1 điểm bất kì thuộc đường conic. Khi đó \({\rm{ }}\dfrac{{MF}}{{d(M;\Delta )}} = e\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {{{(1 - x)}^2} + {{(1 - y)}^2}} }}{{\dfrac{{|x + y - 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }}}} = 2\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{(1 - x)}^2} + {{(1 - y)}^2}} = 2 \cdot \dfrac{{|x + y - 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }}\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{(1 - x)}^2} + {{(1 - y)}^2}} = \sqrt 2 \cdot |x + y - 1|\\ \Leftrightarrow {(1 - x)^2} + {(1 - y)^2} = 2|x + y - 1{|^2}\\ \Leftrightarrow \left( {1 - 2x + {x^2}} \right) + \left( {1 - 2y + {y^2}} \right) = 2\left( {{x^2} + {y^2} + 1 + 2xy - 2x - 2y} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 4xy - 2x - 2y = 0.\end{array}\)

Vậy phương trình của conic đã cho là \({x^2} + {y^2} + 4xy - 2x - 2y = 0\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.