Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện \({3^{{x^2} + {y^2} - 2}} \cdot {\log _2}\left( {x - y}

Câu hỏi số 628938:

Vận dụng cao

Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện \({3^{{x^2} + {y^2} - 2}} \cdot {\log _2}\left( {x - y} \right) = \dfrac{1}{2}\left[ {1 + {{\log }_2}\left( {1 - xy} \right)} \right]\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(M = 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) - 3xy\).

A. 7.

B. \(\dfrac{{13}}{2}\).

C. \(\dfrac{{17}}{2}\).

D. 3.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:628938

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình, xét hàm đặc trưng.

Biến đổi biểu thức M theo x + y. Đặt t = x + y. Tìm GTLN của hàm số trên 1 đoạn cho trước.

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{3^{{x^2} + {y^2} - 2}}.{\log _2}\left( {x - y} \right) = \dfrac{1}{2}\left[ {1 + {{\log }_2}\left( {1 - xy} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow {3^{{x^2} + {y^2} - 2}}.{\log _2}{\left( {x - y} \right)^2} = {\log _2}\left( {2 - 2xy} \right)\\ \Leftrightarrow {3^{{x^2} + 2xy + {y^2} - 2 + 2xy}}.{\log _2}{\left( {x - y} \right)^2} = {\log _2}\left( {2 - 2xy} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{3^{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}}}{{{3^{2 - 2xy}}}}.{\log _2}\left( {x - y} \right) = {\log _2}\left( {2 - 2xy} \right)\\ \Leftrightarrow {3^{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}.{\log _2}\left( {x - y} \right) = {3^{2 - 2xy}}.{\log _2}\left( {2 - 2xy} \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f(t) = {3^t} \cdot {\log _2}t\) trên khoảng \((0; + \infty )\), có \(f'(t) = {3^t}\ln 3 \cdot {\log _2}t + \dfrac{{{3^t}}}{{t \cdot \ln 2}} > 0;\,\,\forall t > 0\)

Suy ra \(f(t)\) là hàm số đồng biến trên \((0; + \infty )\) mà \(f\left[ {{{(x - y)}^2}} \right] = f(2 - 2xy) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 2\)

\( \Rightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 2 + 2xy \Rightarrow 2xy = {\left( {x + y} \right)^2} - 2.\)

Khi đó ta có:

\(M = 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) - 3xy = 2(x + y)\left[ {{{(x + y)}^2} - 3xy} \right] - 3xy\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2M = 2\left( {x + y} \right)\left[ {2{{\left( {x + y} \right)}^2} - 3.2xy} \right] - 3.2xy\\ \Leftrightarrow 2M = 2\left( {x + y} \right)\left[ {2{{\left( {x + y} \right)}^2} - 3{{\left( {x + y} \right)}^2} + 6} \right] - 3{\left( {x + y} \right)^2} + 6\\ \Leftrightarrow 2M = 2\left( {x + y} \right)\left[ {6 - {{\left( {x + y} \right)}^2}} \right] - 3{\left( {x + y} \right)^2} + 6\\ \Leftrightarrow 2M = - 2{\left( {x + y} \right)^3} - 3{\left( {x + y} \right)^2} + 12\left( {x + y} \right) + 6\end{array}\)

Đặt \(t = x + y\) ta có \({\left( {x + y} \right)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 4\) \( \Rightarrow - 2 \le t \le 2\).

\( \Rightarrow 2M = - 2{t^3} - 3{t^2} + 12t + 6\).

Xét hàm số \(f(a) = - 2{t^3} - 3{t^2} + 12t + 6\) trên [-2;2] ta có \(f'\left( t \right) = - 6{t^2} - 6t + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 2\end{array} \right.\).

\(f\left( { - 2} \right) = - 14,\,\,f\left( 2 \right) = 2,\,\,f\left( 1 \right) = 13\), suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( t \right) = 13\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(M\) là \(\dfrac{{13}}{2}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.