Tính \(\int {\dfrac{{1 + \ln \left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}}}} dx\). Khẳng định nào sau đây là sai?

Câu hỏi số 628939:

Vận dụng

A. \( - \dfrac{{1 + \ln \left( {x + 1} \right)}}{x} + \ln \left| {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right| + C\)

B. \(\dfrac{{ - 1 + \ln \left( {x + 1} \right)}}{x} + \ln \left| {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right| + C\)

C. \( - \dfrac{{x + 1}}{x}\left( {1 + \ln \left( {x + 1} \right)} \right) + \ln \left| x \right| + C\)

D. \( - \dfrac{{1 + \ln \left( {x + 1} \right)}}{x} - \ln \left| {x + 1} \right| + \ln \left| x \right| + C\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:628939

Phương pháp giải

Sử dụng nguyên hàm từng phần \(\int {udv} = uv - \int {vdu} \).

Giải chi tiết

Ta có: \(\int {\dfrac{{1 + \ln \left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}}}} dx = \int {\dfrac{1}{{{x^2}}}} dx + \int {\dfrac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}}}dx} = - \dfrac{1}{x} + I\).

Xét \(I = \int {\dfrac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}}}dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 1} \right) \Rightarrow du = \dfrac{1}{{x + 1}}dx\\dv = \dfrac{1}{{{x^2}}}dx \Rightarrow v = - \dfrac{1}{x}\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int {\dfrac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}}}dx} = - \dfrac{1}{x}\ln \left( {x + 1} \right) + \int {\dfrac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}dx} \\ = - \dfrac{1}{x}\ln \left( {x + 1} \right) + \int {\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = - \dfrac{1}{x}\ln \left( {x + 1} \right) + \ln \left| x \right| - \ln \left| {x + 1} \right| + C\end{array}\)

Vậy \(\int {\dfrac{{1 + \ln \left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}}}} dx = - \dfrac{{1 + \ln \left( {x + 1} \right)}}{x} + \ln \left| x \right| - \ln \left| {x + 1} \right| + C\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.