Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(\ln \left( {x\sqrt {{x^2} + 16} - {x^2}} \right) \le \sqrt

Câu hỏi số 629132:

Vận dụng

Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(\ln \left( {x\sqrt {{x^2} + 16} - {x^2}} \right) \le \sqrt {{x^2} + 16} - 15x\) là

A. 2.

B. 0.

C. 3.

D. 1.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:629132

Phương pháp giải

Xét \(f\left( x \right) = \ln \left( {x\sqrt {{x^2} + 16} - {x^2}} \right) - \sqrt {{x^2} + 16} + 15x\)

Chứng minh \(f\left( x \right)\) đồng biến với mọi \(x\) thuộc tập xác định

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x > 0\).

Xét \(f\left( x \right) = \ln \left( {x\sqrt {{x^2} + 16} - {x^2}} \right) - \sqrt {{x^2} + 16} + 15x\) với x > 0 ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 16} + x.\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 16} }} - 2x}}{{x\sqrt {{x^2} + 16} - {x^2}}} - \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 16} }} + 15\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2{x^2} - 2x\sqrt {{x^2} + 16} + 16}}{{\left( {x\sqrt {{x^2} + 16} - {x^2}} \right)\sqrt {{x^2} + 16} }} - \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 16} }} + 16\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 16} - x} \right)}^2}}}{{\left( {x\sqrt {{x^2} + 16} - {x^2}} \right)\sqrt {{x^2} + 16} }} - \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 16} }} + 16\end{array}\)

Do \(\sqrt {{x^2} + 16} \ge \sqrt {{x^2}} = \left| x \right| \ge x > 0 \Rightarrow \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 16} }} < 1 \Rightarrow 16 - \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 16} }} > 15 > 0\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x > 0.\) Do đó \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Do \(x > 0,\,\,x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \ge 1 \Rightarrow f\left( x \right) \ge f\left( 1 \right) \approx 12,01\).

Vậy bất phương trình \(f\left( x \right) \le 0\) vô nghiệm.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.