Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-1;2;2), B(3;2;6)). Xét hai điểm M, N thay đổi thuộc mặt phẳng

Câu hỏi số 629143:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-1;2;2), B(3;2;6)). Xét hai điểm M, N thay đổi thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho MN = 16. Giá trị nhỏ nhất của AM + BN bằng

A. \(4\sqrt {13} \).

B. \(4\sqrt 5 \).

C. \(5\sqrt 3 \).

D. \(2\sqrt {15} \).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:629143

Phương pháp giải

- Dựng \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {NM} \). Khi đó \(BN = MB'\) và \(B' \in \left( Q \right)\) qua \(B\) và song song với \(\left( {Oxy} \right)\)

- Gọi \(A'\) đối xứng \(A\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\)

- Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A'\) trên \(\left( Q \right)\)

Ta có: \(AM + BN = A'M + MB' \ge A'B'\)

Giải chi tiết

Dựng \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {NM} \). Khi đó \(BN = MB'\) và \(B' \in \left( Q \right)\) qua \(B\) và song song với \(\left( {Oxy} \right)\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là \(z = 6\).

Hơn nữa \(BB' = MN = 16\) nên \(B'\) thuộc đường tròn tâm \(B\) bán kính \(R = 16\) trong mặt phẳng \(\left( Q \right)\)

Gọi \(A'\) đối xứng \(A\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Khi đó \(A'\left( { - 1;2; - 2} \right)\) và 2 điểm \(A',\,\,B'\) khác phía so với \(\left( {Oxy} \right)\)

Ta có: \(AM + BN = A'M + MB' \ge A'B'\)

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A'\) trên \(\left( Q \right)\). Suy ra \(H\left( { - 1;2;6} \right),\,\,A'H = 8,\,\,HB = 4\)

Mặt khác, \(HB' \ge \left| {HB - BB'} \right| = \left| {4 - 16} \right| = 12\)

Ta có: \(A'B' = \sqrt {A'{H^2} + HB{'^2}} \ge \sqrt {{8^2} + {{12}^2}} = 4\sqrt {13} \).

Do đó \(AM + BN \ge 4\sqrt {13} \).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.