Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\), tam

Câu hỏi số 629145:

Vận dụng

Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\), tam giác \(SCD\) có \(SC = SD = \dfrac{{\sqrt {13} }}{4}a\). Thể tích khối chóp đã cho bằng

A. \(\dfrac{{2\sqrt 6 }}{{27}}{a^3}\).

B. \(\dfrac{{\sqrt {13} }}{{24}}{a^3}\).

C. \(\dfrac{{3\sqrt {15} }}{{64}}{a^3}\).

D. \(\dfrac{{\sqrt {15} }}{{32}}{a^3}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:629145

Phương pháp giải

- Gọi \(M,\,\,N\) là trung điểm của \(AB,\,\,CD\). Gọi \(H\) là chân đường cao của \(\Delta SMN\). Chứng minh \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

- Tính SM, SN.

- Sử dụng định lí cosin trong tam giác SMN tính \(\cos \angle SMN\), từ đí tính \(\sin \angle SMN\).

- Tính \({S_{SMN}} = \dfrac{1}{2}SM.MN.\sin \angle SMN\).

- Tính \(SH = \dfrac{{2{S_{SMN}}}}{{MN}}\).

- Tính thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}\).

Giải chi tiết

Gọi \(M,\,\,N\) là trung điểm của \(AB,\,\,CD\).

Gọi \(H\) là chân đường cao của \(\Delta SMN\).

Vì \(\Delta SCD\) cân tại \(S\) nên \(SN \bot CD\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SN\\CD \bot MN\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow CD \bot SH\)

Mà \(SH \bot MN \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

\(\Delta SAB\) vuông cân tại \(S\) nên \(SM = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{a}{2}\)

\(\Delta SNC\) vuông tại \(N:\,\,SN = \sqrt {S{C^2} - C{N^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{\sqrt {13} }}{4}a} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{3a}}{4}\)

Ta có: \(\cos \angle SMN = \dfrac{{S{M^2} + M{N^2} - S{N^2}}}{{2SM.MN}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} + {a^2} - {{\left( {\dfrac{{3a}}{4}} \right)}^2}}}{{2.\dfrac{a}{2}.a}} = \dfrac{{11}}{{16}} \Rightarrow \sin \angle SMN = \dfrac{{3\sqrt {15} }}{{16}}\)

Lại có: \({S_{SMN}} = \dfrac{1}{2}SM.MN.\sin \angle SMN = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{2}.a.\dfrac{{3\sqrt {15} }}{{16}} = \dfrac{{3{a^2}\sqrt {15} }}{{64}}\)

Mà \({S_{SMN}} = \dfrac{1}{2}SH.MN \Rightarrow \dfrac{1}{2}SH.a = \dfrac{{3{a^2}\sqrt {15} }}{{64}} \Rightarrow SH = \dfrac{{3{a^2}\sqrt {15} }}{{32}}\).

Thể tích khối chóp đã cho là \(V = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3{a^2}\sqrt {15} }}{{32}}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt {15} }}{{32}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.