Trên mặt phẳng tọa độ, cho parabol \((P):y = {x^2}\) và d là đường thẳng đi qua điểm M(1;2).

Câu hỏi số 632014:

Vận dụng cao

Trên mặt phẳng tọa độ, cho parabol \((P):y = {x^2}\) và d là đường thẳng đi qua điểm M(1;2). Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và (P) bằng \(\dfrac{4}{3}\). Gọi A, B là giao điểm của d và (P). Độ dài đoạn thẳng AB thuộc khoảng nào sau đây?

A. \(\left( {4;\dfrac{9}{2}} \right)\).

B. \(\left( {\dfrac{{11}}{2};6} \right)\).

C. \(\left( {5;\dfrac{{11}}{2}} \right)\).

D. \(\left( {\dfrac{9}{2};5} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:632014

Giải chi tiết

Đường thẳng đi qua điểm M(1;2) và có hệ số góc k có dạng: \(y = k(x - 1) + 2\).

Phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} - kx + k - 2 = 0\) luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) vì \(\Delta = {k^2} - 4k + 8 > 0,\forall k\).

Ta có: \(S = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {{x^2} - kx + k - 2} \right)dx} } \right| = \left| {\left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - k\dfrac{{{x^2}}}{2} + (k - 2)x} \right)} \right|_{{x_1}}^{{x_2}}} \right| = \dfrac{4}{3}\)

\( \Leftrightarrow \left| {2\left( {x_2^3 - x_1^3} \right) - 3k\left( {x_2^2 - x_1^2} \right) + 6(k - 2)\left( {{x_2} - {x_1}} \right)} \right| = 8\)

\( \Leftrightarrow \left| {{x_2} - {x_1}} \right|\left| {2\left( {x_2^2 + {x_2} \cdot {x_1} + x_1^2} \right) - 3k\left( {{x_2} + {x_1}} \right) + 6(k - 2)} \right| = 8\).

Từ đó theo Vi-et ta suy ra \(\sqrt {{k^2} - 4k + 8} \left| { - {k^2} + 4k - 8} \right| = 8 \Leftrightarrow {k^2} - 4k + 8 = 4 \Rightarrow k = 2\).

Vậy có thể suy ra: A(0;0) và B(2;4) \( \Rightarrow AB = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = 2\sqrt 5 \).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.