Cho biểu thức \(A = {x^4} + {y^4} + {z^4} - 2{x^2}{y^2} - 2{y^2}{z^2} - 2{x^2}{z^2}\) a) Phân tích A thành nhân

Câu hỏi số 635285:

Vận dụng cao

Cho biểu thức \(A = {x^4} + {y^4} + {z^4} - 2{x^2}{y^2} - 2{y^2}{z^2} - 2{x^2}{z^2}\)

a) Phân tích A thành nhân tử

b) Chứng minh rằng nếu \(x,y,z\) là số đo của một tam giác thì \(A < 0\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:635285

Phương pháp giải

Độ dài của mỗi cạnh tam giác lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại và nhỏ hơn tổng độ dài của chúng.

Giải chi tiết

a) \(A = {x^4} + {y^4} + {z^4} - 2{x^2}{y^2} - 2{y^2}{z^2} - 2{x^2}{z^2}\)

\(\begin{array}{l} = {x^4} + {y^4} + {z^4} - 2{x^2}{y^2} - 2{y^2}{z^2} + 2{x^2}{z^2} - 4{x^2}{z^2}\\ = {\left( {{x^2} - {y^2} + {z^2}} \right)^2} - 4{x^2}{z^2}\\ = \left( {{x^2} - {y^2} + {z^2} - 2xz} \right)\left( {{x^2} - {y^2} + {z^2} + 2xz} \right)\\ = \left[ {{{\left( {x - z} \right)}^2} - {y^2}} \right]\left[ {{{\left( {x + z} \right)}^2} - {y^2}} \right]\\ = \left( {x - z - y} \right)\left( {x - z + y} \right)\left( {x + z - y} \right)\left( {x + z + y} \right)\end{array}\)

b) Vì \(x,y,z\) là độ dài các cạnh của tam giác nên

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y - z < 0\\x - z + y > 0\\x + y + z > 0\\x + z - y > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left( {x - y - z} \right)\left( {x - z + y} \right)\left( {x + y + z} \right)\left( {x + z - y} \right) < 0\)

Hay \(A < 0\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link