Phân tích đa thức thành nhân tửa) \(C = {x^4} - 7{x^3} + 14{x^2} - 7x + 1\) b) \(D = 27{x^3} -

Câu hỏi số 635287:

Thông hiểu

Phân tích đa thức thành nhân tử

a) \(C = {x^4} - 7{x^3} + 14{x^2} - 7x + 1\)

b) \(D = 27{x^3} - 27{x^2} + 18x - 4\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:635287

Phương pháp giải

Nếu nhẩm được một nghiệm của biểu thức thì có thể phân tích nó theo nhiều cách

+ Cách 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử

+ Cách 2: Phương pháp hệ số bất định: Nếu hai đa thức cung bậc bằng nhau với mọi giá trị của biến thì hệ số của các hạng tử đồng dạng bằng nhau.

Giải chi tiết

a) \(C = {x^4} - 7{x^3} + 14{x^2} - 7x + 1\)

Giả sử \({x^4} - 7{x^3} + 14{x^2} - 7x + 1 = \left( {{x^2} + ax + 1} \right)\left( {{x^2} + bx + 1} \right)\)

Ta có \(\left( {{x^2} + ax + 1} \right)\left( {{x^2} + bx + 1} \right) = {x^4} + b{x^3} + {x^2} + a{x^3} + ab{x^2} + ax + {x^2} + bx + + 1\)

\( = {x^4} + \left( {a + b} \right){x^3} + \left( {ab + 2} \right){x^2} + \left( {a + b} \right)x + 1\)

Xét \({x^4} - 7{x^3} + 14{x^2} - 7x + 1 = {x^4} + \left( {a + b} \right){x^3} + \left( {ab + 2} \right){x^2} + \left( {a + b} \right)x + 1\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = - 7\left( 1 \right)\\ab + 2 = 14\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow a = - 7 - b\)

Thay \(a\) vào (2), ta được: \(\left( { - 7 - b} \right).b + 2 = 14 \Leftrightarrow - {b^2} - 7b - 12 = 0 \Leftrightarrow {b^2} + 7b + 12 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {b^2} + 3b + 4b + 12 = 0\\ \Leftrightarrow b\left( {b + 3} \right) + 4\left( {b + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {b + 3} \right)\left( {b + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b + 3 = 0\\b + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = - 3\\b = - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 4\\a = - 3\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \({x^4} - 7{x^3} + 14{x^2} - 7x + 1 = \left( {{x^2} - 4x + 1} \right)\left( {{x^2} - 3x + 1} \right)\)

b) \(D = 27{x^3} - 27{x^2} + 18x - 4\)

Ta nhẩm \(x = \dfrac{1}{3}\) là nghiệm của đa thức \( \Rightarrow \) chứa nhân tử \(x - \dfrac{1}{3} = 3x - 1\)

Cách 1 :

\(27{x^3} - 27{x^2} + 18x - 4 = 27{x^3} - 9{x^2} - 18{x^2} + 12x + 6x - 4\)

\(\begin{array}{l} = 9{x^2}\left( {3x - 1} \right) - 6x\left( {3x - 1} \right) + 4\left( {3x - 1} \right)\\ = \left( {3x - 1} \right)\left( {9{x^2} - 6x + 4} \right)\end{array}\)

Cách 2: Giả sử \(27{x^3} - 27{x^2} + 18x - 4 = \left( {3x - 1} \right)\left( {9{x^2} + ax + 4} \right)\)

Ta có : \(\left( {3x - 1} \right)\left( {9{x^2} + ax + 4} \right) = 27{x^3} + 3a{x^2} - 12x - 9{x^2} - ax - 4\)

\( = 27{x^3} + \left( {3a - 9} \right){x^2} + \left( { - 12 - a} \right)x - 4\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 9 = - 27\\ - 12 - a = 18\end{array} \right. \Rightarrow a = - 6\)

Vậy \(27{x^3} - 27{x^2} + 18x - 4 = \left( {3x - 1} \right)\left( {9{x^2} + 6x - 4} \right)\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link