Phân tích đa thức thành nhân tửa) \(M = 2{x^4} - 7{x^3} + 17{x^2} - 20x + 14\) b) \(N =

Câu hỏi số 635288:

Vận dụng

Phân tích đa thức thành nhân tử

a) \(M = 2{x^4} - 7{x^3} + 17{x^2} - 20x + 14\)

b) \(N = 3{x^4} + 11{x^3} - 7{x^2} - 2x + 1\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:635288

Phương pháp giải

Nếu nhẩm được một nghiệm của biểu thức thì có thể phân tích nó theo nhiều cách

+ Cách 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử

+ Cách 2: Phương pháp hệ số bất định: Nếu hai đa thức cung bậc bằng nhau với mọi giá trị của biến thì hệ số của các hạng tử đồng dạng bằng nhau.

Giải chi tiết

a) \(M = 2{x^4} - 7{x^3} + 17{x^2} - 20x + 14\)

Giả sử \(2{x^4} - 7{x^3} + 17{x^2} - 20x + 14 = \left( {2{x^2} + ax + 7} \right)\left( {{x^2} + bx + 2} \right)\)

Ta có: \(\left( {2{x^2} + ax + 7} \right)\left( {{x^2} + bx + 2} \right) = 2{x^4} + 2b{x^3} + 4{x^2} + a{x^3} + ab{x^2} + 2ax + 7{x^2} + 7bx + 14\)

\(\begin{array}{l} = 2{x^4} + \left( {2b + a} \right){x^3} + \left( {4 + 7 + ab} \right){x^2} + \left( {2a + 7b} \right)x + 14\\ = 2{x^4} + \left( {a + 2b} \right){x^3} + \left( {ab + 11} \right){x^2} + \left( {2a + 7b} \right)x + 14\end{array}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2b = - 7\left( 1 \right)\\ab + 11 = 17\\2a + 7b = - 20\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Nhân 2 vào phương trình (1) rồi trừ đi phương trình (2) ta được \( - 3b = 6 \Rightarrow b = - 2\)

Thay \(b\) vào phương trình (1) \( \Rightarrow a = - 3\)

Vậy \(2{x^4} - 7{x^3} + 17{x^2} - 20x + 14 = \left( {2{x^2} - 3x + 7} \right)\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)\)

b) \(N = 3{x^4} + 11{x^3} - 7{x^2} - 2x + 1\)

Ta nhẩm được \(x = \dfrac{1}{3}\) là nghiệm của đa thức \( \Rightarrow \) chứa nhân tử \(x - \dfrac{1}{3} = 3x - 1\)

Cách 1 :

\(3{x^4} + 11{x^3} - 7{x^2} - 2x + 1 = 3{x^4} - {x^3} + 12{x^3} - 4{x^2} - 3{x^2} + x - 3x + 1\)

Vậy \(3{x^4} + 11{x^3} - 7{x^2} - 2x + 1 = \left( {3x - 1} \right)\left( {{x^3} + 4{x^2} - x - 1} \right)\)

Cách 2 :

Giả sử \(3{x^4} + 11{x^3} - 7{x^2} - 2x + 1 = \left( {3x - 1} \right)\left( {{x^3} + a{x^2} + bx - 1} \right)\)

Ta có : \(\left( {3x - 1} \right)\left( {{x^3} + a{x^2} + bx - 1} \right) = 3{x^4} + 3a{x^3} + ab{x^2} - 3x - {x^3} - a{x^2} - bx + 1\)

\( = 3{x^4} + \left( {3a - 1} \right){x^3} + \left( {ab - a} \right){x^2} + \left( { - 3 - b} \right)x + 1\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 1 = 11\\ab - a = - 7\\ - 3 - b = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b - 1\end{array} \right.\)

Vậy \(3{x^4} + 11{x^3} - 7{x^2} - 2x + 1 = \left( {3x - 1} \right)\left( {{x^3} + 4{x^2} - x - 1} \right)\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link