Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(\int\limits_1^{{e^3}} {\dfrac{{f\left( {\ln x} \right)}}{x}dx = 7} ,\) \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( {\cos x} \right)\sin xdx} = 3\). Giá trị của \(\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + 2x} \right]} dx\) bằng

Câu 635742: Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(\int\limits_1^{{e^3}} {\dfrac{{f\left( {\ln x} \right)}}{x}dx = 7} ,\) \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( {\cos x} \right)\sin xdx} = 3\). Giá trị của \(\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + 2x} \right]} dx\) bằng

A. 10.

B. 15.

C. \( - 10\).

D. 12.

Câu hỏi : 635742

Phương pháp giải:

Đổi biến.

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Xét \(I = \int\limits_1^{{e^3}} {\dfrac{{f\left( {\ln x} \right)}}{x}dx = 7} \), đặt \(\ln x = t \Rightarrow \)\(I = \int\limits_0^3 {f\left( t \right)dt = 7} \).
Xét \(J = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( {\cos x} \right)\sin xdx} = 3\), đặt \(t = \cos x \Rightarrow \)\(J = - \int\limits_1^0 {f\left( t \right)dt} = 3 \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = 3\).
Ta có: \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)} dx - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = 7 - 3 = 4\).
Vậy \(\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + 2x} \right]} dx = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_1^3 {2x} dx = 4 + \left. {{x^2}} \right|_1^3 = 4 + 8 = 12\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.