Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn các điều kiện f(0) = -2, \(\left( {{x^2} + 1} \right)f'\left( x \right) + xf\left( x \right) = - x,\forall x \in \mathbb{R}\). Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{1}{{1 + f\left( x \right)}}\), hai trục tọa độ và đường thẳng x = 3. Quay (H) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng V (đơn vị thể tích). Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 635743: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn các điều kiện f(0) = -2, \(\left( {{x^2} + 1} \right)f'\left( x \right) + xf\left( x \right) = - x,\forall x \in \mathbb{R}\). Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{1}{{1 + f\left( x \right)}}\), hai trục tọa độ và đường thẳng x = 3. Quay (H) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng V (đơn vị thể tích). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(V \in \left( {5;9} \right)\).

B. \(V \in \left( {15;20} \right)\).

C. \(V \in \left( {11;13} \right)\).

D. \(V \in \left( {35;38} \right)\).

Câu hỏi : 635743

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Cho hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right)\) liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi đồ thị số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}a;{\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}b\)khi quay quanh trục Ox là: \(V = \;\pi \int_a^b {{f^2}(x)dx} \).

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {{x^2} + 1} \right)f'\left( x \right) + xf\left( x \right) = - x,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1} .f'\left( x \right) + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}f\left( x \right) = - \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }},\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow {\left[ {\sqrt {{x^2} + 1} .f\left( x \right)} \right]^\prime } = - \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }},\forall x \in \mathbb{R}\\ \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1} .f\left( x \right) = - \int {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} dx = - \sqrt {{x^2} + 1} + C\end{array}\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) = - 1 + \dfrac{C}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).
Mà \(f\left( 0 \right) = - 2 \Rightarrow C = - 1 \Rightarrow \)\(f\left( x \right) = - 1 - \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).
Khi đó: \(g\left( x \right) = \dfrac{1}{{1 + f\left( x \right)}} = - \sqrt {{x^2} + 1} \).
Thể tích khối tròn xoay đó là: \(V = \;\pi \int_0^3 {\left( {{x^2} + 1} \right)dx} = \pi \left. {\left( {\dfrac{1}{3}{x^3} + x} \right)} \right|_0^3 = 12\pi \approx 37,7 \Rightarrow V \in \left( {35;38} \right)\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.