Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn các điều kiện f(0) = -2,

Câu hỏi số 635743:

Vận dụng cao

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn các điều kiện f(0) = -2, \(\left( {{x^2} + 1} \right)f'\left( x \right) + xf\left( x \right) = - x,\forall x \in \mathbb{R}\). Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{1}{{1 + f\left( x \right)}}\), hai trục tọa độ và đường thẳng x = 3. Quay (H) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng V (đơn vị thể tích). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(V \in \left( {5;9} \right)\).

B. \(V \in \left( {15;20} \right)\).

C. \(V \in \left( {11;13} \right)\).

D. \(V \in \left( {35;38} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:635743

Phương pháp giải

Cho hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right)\) liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi đồ thị số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}a;{\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}b\)khi quay quanh trục Ox là: \(V = \;\pi \int_a^b {{f^2}(x)dx} \).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {{x^2} + 1} \right)f'\left( x \right) + xf\left( x \right) = - x,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1} .f'\left( x \right) + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}f\left( x \right) = - \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }},\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow {\left[ {\sqrt {{x^2} + 1} .f\left( x \right)} \right]^\prime } = - \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }},\forall x \in \mathbb{R}\\ \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1} .f\left( x \right) = - \int {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} dx = - \sqrt {{x^2} + 1} + C\end{array}\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = - 1 + \dfrac{C}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).

Mà \(f\left( 0 \right) = - 2 \Rightarrow C = - 1 \Rightarrow \)\(f\left( x \right) = - 1 - \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).

Khi đó: \(g\left( x \right) = \dfrac{1}{{1 + f\left( x \right)}} = - \sqrt {{x^2} + 1} \).

Thể tích khối tròn xoay đó là: \(V = \;\pi \int_0^3 {\left( {{x^2} + 1} \right)dx} = \pi \left. {\left( {\dfrac{1}{3}{x^3} + x} \right)} \right|_0^3 = 12\pi \approx 37,7 \Rightarrow V \in \left( {35;38} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.