Xét các số phức z và w thỏa mãn \(\left| z \right| = \left| w \right| = 1,\left| {z + w} \right| = \sqrt 2

Câu hỏi số 635745:

Vận dụng cao

Xét các số phức z và w thỏa mãn \(\left| z \right| = \left| w \right| = 1,\left| {z + w} \right| = \sqrt 2 \). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {w - \dfrac{4}{z} + 2\left( {1 + \dfrac{w}{z}} \right)i} \right|\) thuộc khoảng nào?

A. \(\left( {2;3} \right)\).

B. \(\left( {4;5} \right)\).

C. \(\left( {3;4} \right)\).

D. \(\left( {7;8} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:635745

Phương pháp giải

Đưa về hình Oxy để giải, kết hợp khảo sát hàm số.

Giải chi tiết

Gọi \(M,N\) lần lượt là điểm biểu diễn hai số phức \(z\) và \(w\).

Ta có: \(\left| z \right| = \left| w \right| = 1,\left| {z + w} \right| = \sqrt 2 \).

\( \Rightarrow OM = ON = 1,OP = \sqrt 2 \) (P là đỉnh thứ tư của hình bình hành MONP).

Dễ dàng kiểm tra, MONP là hình vuông.

Ta có: \(\begin{array}{l}P = \left| {w - \dfrac{4}{z} + 2\left( {1 + \dfrac{w}{z}} \right)i} \right|\\\,\,\,\,\, = \left| {\dfrac{{wz - 4 + 2zi + 2wi}}{z}} \right|\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left| {wz + 4{i^2} + 2zi + 2wi} \right|}}{{\left| z \right|}}\\\,\,\,\,\, = \left| {wz + 2zi + 4{i^2} + 2wi} \right|\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = \left| {z\left( {w + 2i} \right) + 2i\left( {w + 2i} \right)} \right|\\ = \left| {\left( {w + 2i} \right)\left( {z + 2i} \right)} \right|\\ = \left| {w + 2i} \right|.\left| {z + 2i} \right| = MI.NI\end{array}\).

(trong đó, \(I\left( {0; - 2} \right)\) là điểm biểu diễn của số phức \( - 2i\)).

Giả sử \(M\left( {\cos \alpha ;\sin \alpha } \right),N\left( { - \sin \alpha ;\cos \alpha } \right)\).

Khi đó:

\(\begin{array}{l}M{I^2}.N{I^2} = \left( {{{\cos }^2}\alpha + {{\left( {\sin \alpha + 2} \right)}^2}} \right).\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\left( {\cos \alpha + 2} \right)}^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {5 + 4\sin \alpha } \right)\left( {5 + 4\cos \alpha } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 25 + 20\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right) + 16\sin \alpha \cos \alpha \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 25 + 20t + 8\left( {{t^2} - 1} \right)\,,\,\,\,\left( {t = \sin \alpha + \cos \alpha ,t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 8{t^2} + 20t + 17 = g\left( t \right)\end{array}\)

Ta có: \(g'\left( t \right) = 16t + 20,\,\,\,g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = - \dfrac{5}{4} \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\).

Hàm số \(g\left( t \right)\)liên tục trên \(\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\), có: \(g\left( { - \sqrt 2 } \right) = 33 - 20\sqrt 2 ,\) \(g\left( { - \dfrac{5}{4}} \right) = \dfrac{9}{2},\) \(g\left( {\sqrt 2 } \right) = 33 + 20\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]} g\left( t \right) = g\left( { - \dfrac{5}{4}} \right) = \dfrac{9}{2}\).

\( \Rightarrow {P_{\min }} = \dfrac{3}{{\sqrt 2 }} \approx 2,1\) khi và chỉ khi \(\sin \alpha + \cos \alpha = - \dfrac{5}{4}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.