Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(O'\) là trọng tâm tam
Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(O'\) là trọng tâm tam giác \(A'B'C'\), \(\left( N \right)\) là hình nón ngoại tiếp hình chóp \(O'.ABC\). Góc giữa đường sinh của \(\left( N \right)\) và mặt đáy là \({60^0}\), khoảng cách giữa hai đường thẳng \(A'B\) và \(CC'\) bằng \(a\sqrt 3 \). Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Gọi M là trung điểm của AB \( \Rightarrow CM = d\left( {CC';A'B} \right) = a\sqrt 3 \Rightarrow OC \Rightarrow OO'\).
Gọi S là trung điểm của OO’. Suy ra S là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).
Áp dụng công thức tính thể tích khối cầu là: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\).
Ta có: \(CC'//\left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow d\left( {CC';A'B} \right) = d\left( {C;\left( {ABB'A'} \right)} \right) = CM = a\sqrt 3 \).
(M là trung điểm AB).
\( \Rightarrow OC = \dfrac{2}{3}CM = \dfrac{2}{3}.a\sqrt 3 = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).
Tam giác O’OC vuông tại O \( \Rightarrow OO' = OC.\tan C = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\tan {60^0} = 2a\).
Gọi S là trung điểm của OO’.
\( \Rightarrow S\) là tâm khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).
Khối cầu này có bán kính \(R = SC = \sqrt {S{O^2} + O{C^2}} = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{4{a^2}}}{3}} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{{\sqrt 3 }}\).
Thể tích khối cầu là: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi .\dfrac{{7\sqrt {21} }}{9} = \)\(\dfrac{{28\sqrt {21} }}{{27}}\pi {a^3}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
